∴BF＝ BP＝ t，
∵∠BFQ＝90°＝∠C，∠B＝∠B， ∴△BFQ∽△BCA， ∴
，
∴ ∴t＝ ，
，
即：t为 秒或 秒或 秒时，△BPQ为等腰三角形． 【解析】【解答】（1）①在Rt△ABC中，AC＝3cm，BC＝4cm， 根据勾股定理得，AB＝5cm， 由运动知，BP＝t，AQ＝2t， ∴BQ＝AB﹣AQ＝5﹣2t， 故答案为：5﹣2t，t；
②如图1，过点Q作QD⊥BC于D，
∴∠BDQ＝∠C＝90°， ∵∠B＝∠B， ∴△BDQ∽△BCA， ∴
，
∴
，
∴DQ＝ （5﹣2t）
∴y＝S△PBQ＝ BP?DQ＝ ×t× （5﹣2t）＝﹣ t2+ t；
【分析】（1）①先利用勾股定理求出AB ， 即可得出结论；②过点Q作QD⊥BC于D，进而得出△BDQ∽△BCA ， 用t表示出DQ ， 最后用三角形的面积公式即可得出结论；（2）先求出△ABC的面积，再利用△PBQ的面积为△ABC面积的二分之一，建立关于t的方程，进而判断出此方程无解，即可得出结论；（3）分三种情况，利用等腰三角形的性质和相似三角形的性质，得出比例式建立关于t的方程求解，即可得出结论．
5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm.动点M从点B出发，在BA边上以每秒3cm的速度向定点A运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒2cm的速度向点B运动，运动时间为t秒
，连接MN.
（1）若△BMN与△ABC相似，求t的值；
（2）连接AN，CM，若AN⊥CM，求t的值．
【答案】（1）解：∵∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm， ∴BA＝ 由题意得BM＝3tcm，CN＝2tcm， ∴BN＝(8－2t)cm. 当△BMN∽△BAC时，
， ∴ ＝
，解得t＝ ； ，解得t＝ .
＝10(cm)．
当△BMN∽△BCA时， ＝ ， ∴ ＝
综上所述，△BMN与△ABC相似时，t的值为 或
（2）解：如图，过点M作MD⊥CB于点D，
∴∠BDM＝∠ACB＝90°， 又∵∠B＝∠B， ∴△BDM∽△BCA， ∴ ＝ ＝ . ∵AC＝6cm，BC＝8cm，BA＝10cm，BM＝3tcm，
∴DM＝ tcm，BD＝ tcm， ∴CD＝
cm.
∵AN⊥CM，∠ACB＝90°， ∴∠CAN＋∠ACM＝90°，∠MCD＋∠ACM＝90°， ∴∠CAN＝∠MCD. ∵MD⊥CB， ∴∠MDC＝∠ACB＝90°， ∴△CAN∽△DCM，
∴ ＝ ， ∴ 根据路程=速度
＝ ， 解得t＝ ．
时间可将BM、CN用含t的代数式表示出来，则BN=BC-CN也可用含t
【解析】【分析】（1）在直角三角形ABC中，由已知条件用勾股定理可求得AB的长，再的代数式表示出来，因为△BMN与△ABC相似，由题意可分两种情况，①当△BMN∽△BAC时，由相似三角形的性质可得比例式：
，将已知的线段代入计算
，将已知
即可求解；②当△BMN∽△BCA时，由相似三角形的性质可得比例式：的线段代入计算即可求解；
（2）过点M作MD⊥CB于点D，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得△BDM∽△BCA，于是可得比例式
，将已知的线段代入计算即可用含t的代
数式表示DM、BD的长，则CD=CB-BD也可用含t的代数式表示出来，同理易证△CAN∽△DCM，可得比例式
，将已表示的线段代入计算即可求得t的值。
6．在直角坐标系中，过原点O及点A（8，0），C（0，6）作矩形OABC、连结OB，点D为OB的中点，点E是线段AB上的动点，连结DE，作DF⊥DE，交OA于点F，连结EF．已知点E从A点出发，以每秒1个单位长度的速度在线段AB上移动，设移动时间为t秒．
（1）如图1，当t=3时，求DF的长．
（2）如图2，当点E在线段AB上移动的过程中，∠DEF的大小是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出tan∠DEF的值．
（3）连结AD，当AD将△DEF分成的两部分的面积之比为1：2时，求相应的t的值． 【答案】（1）解：当t=3时，点E为AB的中点，
∵A（8，0），C（0，6）， ∴OA=8，OC=6， ∵点D为OB的中点， ∴DE∥OA，DE= OA=4， ∵四边形OABC是矩形， ∴OA⊥AB， ∴DE⊥AB，
∴∠OAB=∠DEA=90°， 又∵DF⊥DE， ∴∠EDF=90°， ∴四边形DFAE是矩形， ∴DF=AE=3
（2）解：∠DEF的大小不变；理由如下： 作DM⊥OA于M，DN⊥AB于N，如图2所示：
∵四边形OABC是矩形， ∴OA⊥AB，
∴四边形DMAN是矩形，
∴∠MDN=90°，DM∥AB，DN∥OA， ∴
，
，
∵点D为OB的中点，
∴M、N分别是OA、AB的中点， ∴DM= AB=3，DN= OA=4， ∵∠EDF=90°， ∴∠FDM=∠EDN， 又∵∠DMF=∠DNE=90°， ∴△DMF∽△DNE，
∴
∵∠EDF=90°， ∴tan∠DEF=
，
（3）解：作DM⊥OA于M，DN⊥AB于N， 若AD将△DEF的面积分成1：2的两部分， 设AD交EF于点G，则点G为EF的三等分点； ①当点E到达中点之前时，如图3所示，NE=3﹣t，
由△DMF∽△DNE得：MF= （3﹣t）， ∴AF=4+MF=﹣ t+ ， ∵点G为EF的三等分点， ∴G（
），
设直线AD的解析式为y=kx+b， 把A（8，0），D（4，3）代入得：
，
解得：
，
x+6，
∴直线AD的解析式为y= 把G（
）代入得：t= ；
②当点E越过中点之后，如图4所示，NE=t﹣3，
历年中考数学易错题汇编-圆与相似练习题附答案解析
