历年中考数学易错题汇编-圆与相似练习题附答案解析
一、相似
1．如图,在一间黑屋子里用一盏白炽灯照一个球.
（1）球在地面上的影子是什么形状?
（2）当把白炽灯向上平移时,影子的大小会怎样变化?
（3）若白炽灯到球心的距离是1 m,到地面的距离是3 m,球的半径是0.2 m,则球在地面上影子的面积是多少?
【答案】（1）解：球在地面上的影子的形状是圆. （2）解：当把白炽灯向上平移时,影子会变小.
（3）解：由已知可作轴截面，如图所示：在Rt△OAE中， ∴OA=
=
=
(m)，
依题可得：OE=1 m，AE=0.2 m，OF=3 m，AB⊥OF于H，
∵∠AOH=∠EOA，∠AHO=∠EAO=90°， ∴△OAH∽△OEA， ∴
，
∴OH= =
= (m)，
又∵∠OAE=∠AHE=90°，∠AEO=∠HEA， ∴△OAE∽△AHE， ∴ = ， ∴AH=
=
=2625 (m).
依题可得：△AHO∽△CFO， ∴ AHCF=OHOF ，
∴CF= AH?OFOH = 2625×32425=64 (m)， ∴S影子=π·CF2=π· (64)2 = 38 π=0.375π(m2). 答：球在地面上影子的面积是0.375π m2.
【解析】【分析】（1）球在灯光的正下方，根据中心投影的特点可得影子是圆. （2）根据中心投影的特点：在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长；所以白炽灯向上移时，阴影会逐渐变小.
（3）作轴截面（如图）由相似三角形的判定得三组三角形相似，再根据相似三角形的性质对应边成比例，可求得阴影的半径，再根据面积公式即可求出面积.
2．如图，抛物线
，作直线BC．
与坐标轴交点分别为
，
，
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为抛物线上第一象限内一动点，过点P作
，求
（3）条件同
，若
的面积S与t的函数关系式； 与
，
相似，求点P的坐标．
，
代入
得：
轴于点D，设点P的横坐标为
【答案】（1）解：把
，
解得：
，
，
，
抛物线的解析式为
（2）解：设点P的坐标为(t,- t×2+ t+2)， ∵A(-1,0)，B(3,0)， ∴AB=4， ∴S=
（3）解：当 ∽ 时， ，即
，
整理得： 解得：
， 或 ，
舍去 ，
，
；
点P的坐标为
当 整理得 解得：
∽ ，则 ， 或
，
，即
，
舍去 ，
，
，
或
点P的坐标为 综上所述点P的坐标为
【解析】【分析】（1）利用待定系数法，将点A、B、C三点坐标分别代入函数解析式，建立方程组，就可求出a、b、c的值，即可解答；或设函数解析式为交点式，即y=a（x+1）(x-3），再将点C的坐标代入可解答。
（2）点P为抛物线上第一象限内一动点，因此利用二次函数解析式，由P的横坐标为 t表示出点P的坐标，利用三角形的面积公式，就可得出s与t的函数解析式。
（3）分两种情况讨论：当 △ ODP ∽ △ COB 时；当 △ ODP ∽ △ BOC ，分别利用相似三角形的性质，分别得出对应边成比例，建立关于t的方程，求出t的值，就可得出点P的坐标。
3．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O在AB上，以O为圆心，OA长为半径的圆与AC，AB分别交于点D，E，且∠CBD＝∠A．
（1）判断直线BD与⊙O的位置关系，并证明你的结论； （2）若AD：AO＝8：5，BC＝2，求BD的长． 【答案】 （1）解：BD是⊙O的切线；
理由如下：∵OA=OD，∴∠ODA=∠A ∵∠CBD=∠A，∴∠ODA=∠CBD， ∵∠C=90°，∴∠CBD+∠CDB=90°，
∴∠ODA+∠CDB=90°，∴∠ODB=90°，即BD⊥OD， ∴BD是⊙O的切线
（2）解：设AD=8k，则AO=5k，AE=2OA=10k， ∵AE是⊙O的直径，∴∠ADE=90°， ∴∠ADE=∠C，
又∵∠CBD=∠A，∴△ADE∽△BCD， ∴
，即
，
解得：BD= ．所以BD的长是
【解析】【分析】（1）由等腰三角形的性质和已知得出∠ODA=∠CBD，由直角三角形的性质得出∠CBD+∠CDB=90°，因此∠ODA+∠CDB=90°，得出∠ODB=90°，即可得出结论；（2）设AD=8k，则AO=5k，AE=2OA=10k，由圆周角定理得出∠ADE=90°，△ADE∽△BCD，得出对应边成比例
，即可求出BD的长．
4．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，点P从点B出发，沿BC向点C匀速运动，速度为lcm/s；同时，点Q从点A出发，沿AB向点B匀速运动，速度为2cm/s；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动连接PQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜2.5），解答下列问题：
（1）①BQ＝________，BP＝________；（用含t的代数式表示） ②设△PBQ的面积为y（cm2），试确定y与t的函数关系式________；
（2）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使△PBQ的面积为△ABC面积的二分之一？如果存在，求出t的值；不存在，请说明理由；
（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使△BPQ为等腰三角形？如果存在，求出t的值；不存在，请说明理由． 【答案】 （1）5﹣2t；t；y=﹣ t2+ t （2）解：不存在，
理由：∵AC＝3，BC＝4， ∴S△ABC＝ ×3×4＝6， 由（1）知，S△PBQ＝﹣ t2+ t，
∵△PBQ的面积为△ABC面积的二分之一， ∴﹣ t2+ t＝3， ∴2t2﹣5t+10＝0， ∵△＝25﹣4×2×10＜0， ∴此方程无解，
即：不存在某一时刻t，使△PBQ的面积为△ABC面积的二分之一
（3）解：由（1）知，AQ＝2t，BQ＝5﹣2t，BP＝t， ∵△BPQ是等腰三角形， ∴①当BP＝BQ时， ∴t＝5﹣2t， ∴t＝ ，
②当BP＝PQ时，如图2过点P作PE⊥AB于E，
∴BE＝ BQ＝ （5﹣2t）， ∵∠BEP＝90°＝∠C，∠B＝∠B， ∴△BEP∽△BCA， ∴
，
∴ ∴t＝
，
③当BQ＝PQ时，如图3，过点Q作QF⊥BC于F，
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