学会运用旋转变换解题
旋转变换在初中儿何中占有非常重要的地位，它贯穿于三角形、四边形、圆等所有重 要的几何问题之中.在近几年的各地中考试卷中，运用旋转变换求解的试题所占的比重不 断上升，这些试题往往构思巧妙，令人耳目一新.本文试图从三个层次来帮助同学们学握 旋转变换的特征和规律，从而轻松解决问题.
一、按指令旋转
例1如图1,将AABC绕点C逆时针旋转90° ,作出旋转后的图形. 解析 如图2, AA^B*为所求.
由本题我们可以归纳出图形旋转的特征：
(1) 图形中每一点都绕着旋转中心旋转了同样大小的角度； (2) 对应点到旋转中心的距离相等； (3) 对应角相等；
(4) 图形的形状和大小都没有发生变化，即旋转前后的图形全等.
深入研究一下，述可以得到：对应的直线也旋转了相同的角度，比如此题中的直线 AB和直线AB-也互相垂直.
二、会识别旋转
通过例1的练习，对于旋转中心为图形的某个顶点的旋转，学生是很容易识别的，但 对于那些旋转小心不是顶点的，还是有些困难的.
例2如图3, △A，BC,是AABC绕点O按一定角度旋转后形成的图形，求作点O.
B'
Af
解析 如图4,因为对应点A, A，到旋转屮心0的距高相等，所以点O在AA，的中垂 线上，同理点O也在CC的中垂线上.故连结AA\\ CO,作AA\\ CC的屮垂线，交点即 为点O.通过例2的练习，学生对于旋转的识图能力有了进一步的提升，解决例3和例4 这类问题，就很容易了.
例3 如图5,菱形ABCD中，E、F分另U为BC、CD ±的点，且ZB = ZEAF=60° , 求证：
AE=AF.
解析 如图6,连结AC,证明△ ABE^AACF（ASA）即可.事实上，AACF可以看成 是
AABE绕点A逆时针旋转60°而成的，其实旋转提供了我们认识全等的一个新的角度, 即从动
态的角度来重新认识全等，观察图2,图4,我们可以发现旋转必然会产生有“公 共顶点的等线段图形”（等腰三角形）.反之，有“公共顶点的等线段图形”（线段的中点, 等腰三角形，菱形，正方形等等）屮必然隐藏着旋转型全等，我们只需找到它们，问题便 随Z解决.
例4如图7,以AABC的边AB、AC为边分别作正方形ABDE和正方形ACFG,连 结EC.试判断AABC与AAEC面积之间的关系，并说明理由.
图7
图8
解析 如图8,不难看出AABC与AAEC的面积相等，可以考虑让它们的底边相同， 因此作CM丄AB交AB于点M,作GN丄EA交EA的延长线于点N.只需证CN=CM, 而这由△
AMC^AANG即可得到.其实，AAMC与AANG也是一对旋转型的全等.
三、会构造旋转
事实上，让大部分同学感到困难的并不是去发现题目图形中隐藏着的旋转，而是何时 需要去构造旋转型全等.上而的解题经验告诉我们，当题目中出现了 “公共顶点的等线段 图形”，比如线段的中点，等腰三角形，菱形，正方形等等，那可能就需要我们去主动构 造旋转型全等；特别是当题目的条件比较分散或是条件虽然是集屮的，但却无法解决所求 问题时，通过构造旋转，可以使得题目的条件重新集屮，从而解决问题.
例5 如图9,在等腰Z\\ABC中，AB = AC,D是厶ABC内一点，且ZADB = ZADC.求 证：
ZDBC=ZDCB.
解析 虽然题目中相等的元素集中在△ABD和△ ACD中，但却无法证明
ACD全等，所以需要把条件转移之后再利用.而AB = AC提供了将AABD旋转的依据， 因此，
将AABD绕点A逆时针旋转到△ ACD,连结DD.易证ZCDD=ZCDD,从而 CD=CD‘，故 CD =
PB=4,以AB为一边作正方形ABCD,使P、D两
BD.即 ZDBC=ZDCB.
点落在直线AB的两侧.
(1) 如图10,当ZAPB=45°时，求PD的长；
(2) 当ZAPB变化，且其它条件不变吋，求PD的最大值，及相应ZAPB的大小.
解析 在AAPD中，虽然知道PA, AD的长度，但却没有角度，因此无法求解PD.又
AB = AD,所以可以尝试将APAD绕点A顺时针旋转90°至IJAEAB,并连结EP,在AEPB
中求出EB为2舲，可得PD也为2^5 ,在第(2)问中，依此思路，易求得EB的最大值为 6,当且
10,已知PA= V2 , 仅当E, P, B如图三点共线时，即当ZAPB为135° , PD最大值为6.
中考数学复习指导：学会运用旋转变换解题.doc
