一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的)
1．实数a、b、c不全为0等价于（ ） A．a、b、c均不为0 B．a、b、c中至多有一个为0 C．a、b、c中至少有一个为0 D．a、b、c中至少有一个不为0 2．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：
按照上面的规律，第n个“金鱼”图形需要火柴棒的根数为（ ） A．6n－2
B．8n－2
C．6n＋2
D．8n＋2
3．已知数列?an?的前n项和Sn?n2?an?n?2?，而a1?1，通过计算a2、a3、a4，猜想an?（ ） A．
2?n?1?2 B．
2
n?n?1?2C．n 2－12D． 2n－1
4．观察数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…的特点，则第100项为（ ） A．10
B．14
C．13
D．100
5．用分析法证明：欲使①A>B，只需②C B．必要条件 D．既不充分也不必要条件 6．下列函数f(x)中，满足“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1 xC．f(x)＝e x B．f(x)＝(x－1) D．f(x)＝ln(x＋1) 2 7．已知1?2?3?3?32?4?32?那么a、b、c的值为（ ） 11 A．a＝，b＝c＝ 241 C．a＝0，b＝c＝ 4 ?n?3n?1?3n(na?b)?c对一切n∈N都成立， * 1 B．a＝b＝c＝ 4 D．不存在这样的a、b、c 8．已知f1?x??cosx，f2?x??f1??x?，f3?x??f2??x?，f4?x??f3??x?，，fn?x??fn－1??x?，则f2016?x?等于（ ） A．sinx B．?sinx C．cosx 1 D．?cosx 9．已知各项均不为零的数列?an?，定义向量cn??an,an＋1?，bn??n,n?1?，n?N*． 下列命题中真命题是（ ） A．若?n?N*总有cn∥bn成立，则数列?an?是等差数列 B．若?n?N*总有cn∥bn成立，则数列?an?是等比数列 C．若?n?N*总有cn?bn成立，则数列?an?是等差数列 D．若?n?N*总有cn?bn成立，则数列?an?是等比数列 10．用反证法证明命题“若整数系数一元二次方程ax＋bx＋c＝0(a≠0)有有理根，那么a、b、c中至少有一个是偶数”，下列各假设中正确的是（ ） A．假设a、b、c都是偶数 B．假设a、b、c都不是偶数 C．假设a、b、c中至多有一个是偶数 D．假设a、b、c中至多有两个偶数 1－x 11．已知函数f(x)＝lg，若f?a??b，则f(?a)等于（ ） 1＋xA．b 3 2 B．－b 1C． b1D．－ b 12．已知f(x)＝x＋x，a、b、c∈R，且a?b?0，a?c?0，b＋c>0， 则f?a??f?b??f?c?的值（ ） A．一定大于零 C．一定小于零 二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上） 13．“∵AC、BD是菱形ABCD的对角线，∴AC、BD互相垂直且平分．”以上推理的大前提是________． 14．设函数f?x??x (x>0)，观察： x＋2 B．一定等于零 D．正负都有可能 f1?x?＝f?x?＝x ， x＋2 x ， 3x＋4x ， 7x＋8x ， 15x＋16 f2?x?＝f?f1?x??＝f3?x?＝f?f2?x??＝f4?x?＝f?f3?x??＝… 根据以上事实，由归纳推理可得： 当n∈N且n≥2时，fn?x?＝f?fn－1?x??＝________． * 2 15．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则： ①“mn＝nm”类比得到“a?b?b?a”； ②“(m＋n)t＝mt＋nt”类比得到“(a?b)?c?a?c?b?c”； ③“t≠0，mt＝nt?m＝n”类比得到“c?0，a?c?b?c?a?b”； ④“|m·n|＝|m|·|n|”类比得到“a?b＝a?b”； ⑤“(m·n)t＝m(n·t)”类比得到“?a?b??c＝a??b?c?”； ⑥“ acaa?ca?”类比得到“?”． bcbb?cb以上类比得到的结论正确的是________． 16．观察下列等式： 1＝1 1＝1 1＋2＝3 1＋2＝9 1＋2＋3＝6 1＋2＋3＝36 1＋2＋3＋4＝10 1＋2＋3＋4＝100 1＋2＋3＋4＋5＝15 1＋2＋3＋4＋5＝225 … … 可以推测：1＋2＋3＋…＋n＝________．(n∈N，用含有n的代数式表示) 三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．（10分）观察下面所示的“三角数阵” 3 3 3 3 * 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 记第n行的第2个数为an(n≥2，n∈N)，请仔细观察上述“三角数阵”的特征，完成下列各题： （1）第6行的6个数依次为________、________、________、________、________、________； （2）依次写出a2、a3、a4、a5； （3）归纳出an＋1与an的关系式． 3 * 18．（12分）已知函数f?x??ax? 19．（12分）已知椭圆具有以下性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，若直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM、kPN，那么kPM与kPN之积是与点P的位置 x?2?a?1?，求证：函数f?x?在??1,???上为增函数． x?1x2y2无关的定值．试对双曲线2?2?1，写出具有类似的性质，并加以证明． ab 4 20．（12分）已知△ABC的三个内角A，B，C为等差数列，且a，b，c分别为角A，B，C的对边．求证：(a＋b)＋(b＋c)＝3(a＋b＋c)． 5 －1 －1 －1 21．（12分）等差数列?an?的前n项和为Sn，a1＝1＋2，S3＝9＋32． （1）求数列?an?的通项an与前n项和Sn； Sn （2）设bn＝(n∈N＋)，求证：数列?bn?中任意不同的三项都不可能成等比数列． n 12x 22．（12分）已知函数f(x)＝(x－2)e－x＋x＋2． 2（1）求函数f(x)的单调区间和极值； 131 （2）证明：当x≥1时，f(x)>x－x． 62 6 答 案 一、选择题． 1．【答案】D 【解析】“不全为0”的含义是至少有一个不为0，其否定应为“全为0”．故选D． 2．【答案】C 【解析】归纳“金鱼”图形的构成规律知，后面“金鱼”都比它前面的“金鱼”多了去掉尾巴后6根火柴组成的鱼头部分，故各“金鱼”图形所用火柴棒的根数构成一首项为8，公差是6的等差数列，通项公式为an?6n?2．故选C． 3．【答案】B 11【解析】a2?S2?S1?22a2?1，∴a2?，a3?S3?S2?32?a3?22?a2?9a3?4?， 33∴a3?∴a4?11．a4?S4?S3?42?a4?32a3?16a4?9?， 6621．由此猜想an?．故选B． nn?110??4．【答案】B 【解析】设n∈N，则数字n共有n个，∴ * n?n?1?2?100即n(n＋1)≤200， 13×14* 又∵n∈N，∴n＝13，到第13个13时共有＝91项，从第92项开始为14， 2故第100项为14．故选B． 5．【答案】B 【解析】∵②?①，∴①是②的必要条件．故选B． 6．【答案】A 【解析】若满足题目中的条件，则f(x)在(0，＋∞)上为减函数，在A、B、C、D四选项中，由基本函数性质知，A是减函数，故选A． 7．【答案】A ?3?a?b??c?1?【解析】令n＝1，2，3，得?9?2a?b?c?7， ??27?3a?b??c?3411 ∴a＝，b＝c＝．故选A． 248．【答案】A 【解析】由已知，有f1?x??cosx，f2?x???sinx，f3?x???cosx，f4?x??sinx，f5?x??cosx， 7 ，可以归纳出： f4n?x??sinx，f4n?1?x??cosx，f4n?2?x???sinx，f4n?3?x???cosxn?N*． ∴f2016?x??f4?x??sinx．故选A． 9．【答案】A 【解析】∵对?n?N*总有cn∥bn，则存在实数??0，使cn??bn， ∴an??n，∴?an?是等差数列．故选A． 10．【答案】B 【解析】对命题的结论“a、b、c中至少有一个是偶数”进行否定假设应是“假设a、b、c都不是偶数”．∵“至少有一个”即有一个、两个或三个，因此它的否定应是“都不是”．故选B． 11．【答案】B 【解析】f(x)定义域为(－1，1)， 1?a1?a?1?a?f(?a)?lg?lg???lg??f?a???b．故选B． ?1?a1?a?1?a??1??12．【答案】A 【解析】f(x)＝x＋x是奇函数，且在R上是增函数， 由a?b?0得a??b， ∴f?a??f??b?，即f?a??f?b??0，同理f?a??f?c??0，f?b??f?c??0， ∴f?a??f?b??f?c??0．故选A． 二、填空题． 13．【答案】菱形对角线互相垂直且平分 14．【答案】 x nn2?1x?2??x， 112?1x?2??3 【解析】由已知可归纳如下：f1?x?＝f2?x?＝f4?x?＝xxfx＝，， ???22?1?x?223?23?1?x?23xxfx?，…，． ??n?24?1?x?24?2n?1?x?2n15．【答案】①② 【解析】①②都正确；③⑥错误，∵向量不能相除； ④可由数量积定义判断，∴错误； ⑤向量中结合律不成立，∴错误． 8 16．【答案】 n2?n?1?42 【解析】由条件可知：13?12，13?23?9?32?(1?2)2， 13?23?33?36?62?(1?2?3)2， ，不难得出13?23?33? 三、解答题． 17．【答案】（1）6，16，25，25，16，6；（2）2，4，7，11；（3）an＋1?an?n． 【解析】由数阵可看出，除首末两数外，每行中的数都等于它上一行的肩膀上的两数之和，且每一行的首末两数都等于行数． （1）6，16，25，25，16，6． （2）a2?2，a3?4，a4?7，a5?11． （3）∵a3?a2?2，a4?a3?3，a5?a4?4， 由此归纳：an＋1?an?n． 18．【答案】见解析． 【解析】设x1，x2是??1,???上的任意两实数，且x1?x2， 则f?x1??f?x2??ax1??ax1?ax2?x1?2x?2 ?ax2?2x1?1x2?1?n3?(1?2?3??n?n?1??n2?n?1?2． ?n)????24??23?x1?x2?x1?2x2?2?ax1?ax2?． ?x?1x?1x1?1x2?1?1??2?∵a?1，且x1?x2，∴ax1?ax2，x1?x2?0． 又∵x1??1，x2??1，∴(x1?1)(x2?1)?0，∴f?x1??f?x2??0， ∴f?x1??f?x2?．∴函数f?x?在??1,???上为增函数． 19．【答案】见解析． x2y2【解析】类似的性质为：若M、N是双曲线2?2?1上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上 ab任意一点，若直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM、kPN， 那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值． 证明如下：设点M、P的坐标为?m,n?、?x,y?，则N(?m,?n)． b222b2222 ∵点M(m，n)在已知双曲线上，∴n＝2m－b．同理y＝2x－b． aa2 y－ny＋ny－nb2x－mb2则kPM·kPN＝·＝22＝·22＝ (定值)． x－mx＋mx－ma2x－ma2 9 2222 20．【答案】见解析． 【解析】要证(a＋b)＋(b＋c)＝3(a＋b＋c)， 即证 113， ??a?bb?ca?b?ca?b?ca?b?c??3． a?bb?c－1 －1 －1 只需证化简得 ca??1， a?bb?c即c(b＋c)＋(a＋b)a＝(a＋b)(b＋c)， ∴只需证c＋a＝b＋ac． ∵△ABC的三个内角A，B，C成等差数列， 2 2 2 a2?c2?b21 ∴B＝60°，∴cosB＝＝， 22ac即a＋c－b＝ac成立． ∴(a＋b)＋(b＋c)＝3(a＋b＋c)成立． 21．【答案】（1）an＝2n＋2－1，Sn＝n(n＋2)；（2）见解析． 3×2 【解析】（1）设等差数列公差为d，则3a1＋d＝9＋32， 2解得d＝2，∴an＝1＋2＋(n－1)×2＝2n＋2－1， Sn＝ 1?2?2n?2?1n＝n(n＋2)． 2－1 －1 －1 2 2 2 Sn （2）bn＝＝n＋2．用反证法证明． n设bn，bm，bk成等比数列(m，n，k互不相等)， 则bnbk＝bm，即(n＋2)(k＋2)＝(m＋2)， 整理得：nk－m＝2(2m－n－k)，左边为有理数，右边是无理数，矛盾， 故任何不同三项都不可能成等比数列． 22．【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【解析】（1）f ′(x)＝(x－1)(e－1)， 当x＜0或x＞1时，f ′(x)＞0，当0＜x＜1时，f ′(x)＜0， ∴f(x)在(－∞，0)，(1，＋∞)上单调递增，在(0，1)上单调递减， 5 当x＝0时，f(x)有极大值f(0)＝0，当x＝1时，f(x)有极小值f(1)＝－e． 2131x3x （2）设g(x)＝f(x)－x＋x，则g′(x)＝(x－1)(e－－)， 6222x31xx 令u(x)＝e－－，则u′(x)＝e－， 222 10 x 2 2 2 1x 当x≥1时，u′(x)＝e－>0，u(x)在[1,＋∞)上单调递增，u(x)≥u(1)＝e－2>0， 2x3131x ∴g′(x)＝(x－1)(e－－)≥0，g(x)＝f(x)－x＋x在[1,＋∞)上单调递增． 226213117 g(x)＝f(x)－x＋x≥g(1)＝－e>0， 626131 ∴f(x)>x－x． 62 11
（新人教A版）2020高中数学第二章推理与证明单元测试（一）选修2-2 - 图文
