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2015 年全国高中数学联合竞赛（A卷）
参考答案及评分标准
一试
说明：
1.评阅试卷时，请依据本评分标冶填空题只设。分和香分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次.
2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题该分为一个档次，不要增加其他中间档次．
一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．
1．设a,b为不相等的实数，若二次函数f(x)?x?ax?b满足f(a)?f(b)，则f(2)?
2答案：4.解：由己知条件及二次函数图像的轴对称性，可得所以f(2)?4?2a?b?4．
a?ba??，即2a?b?0，221?cos4?的值为 ． sin?222答案：2. 解：由条件知，cos??sin?，反复利用此结论，并注意到cos??sin??1，
2．若实数?满足cos??tan?，则
1cos2??sin2?4?cos???sin2??(1?sin?)(1?cos2?) 得
sin?sin??2?sin??cos2??2．
3．已知复数数列?zn?满足z1?1,zn?1?zn?1?ni(n?1,2,???)，其中i为虚数单位，zn表示zn的共轭复数，则z2015? ．
答案：2015 + 1007i．解：由己知得，对一切正整数n，有
zn?2?zn?1?1?(n?1)i?zn?1?ni?1?(n?1)i?zn?2?i,
于是z2015?z1?1007?(2?i)?2015?1007i．
4．在矩形ABCD中，AB?2,AD?1，边DC上（包含点D、C）的动点P与CB延长线上（包含点B）的动点Q满足条件DP?BQ，则PA?PQ的最小值为 ． 答案
3． 4解：不妨设 A ( 0 , 0 ) , B ( 2 , 0 ) , D ( 0 , l ) ．设 P 的坐标为（t, l) （其中0?t?2），
uuuruuuruuuruuur则由|DP|?|BQ|得Q的坐标为（2，-t)，故PA?(?t,?1),PQ?(2?t,?t?1),因此， uuuruuur133PA?PQ?(?t)?(2?t)?(?1)?(?t?1)?t2?t?1?(t?)2??．
244,.
uuuruuur13当t?时，(PA?PQ)min?．
24
5．在正方体中随机取三条棱，它们两两异面的概率为 ． 答案：
2．解：设正方体为ABCD-EFGH，它共有12条棱，从中任意取出3条棱的方法55共有C12=220种．
下面考虑使3条棱两两异面的取法数．由于正方体的棱共确定3个互不平行的方向（即 AB、AD、AE的方向），具有相同方向的4条棱两两共面，因此取出的3条棱必属于3个不同的方向．可先取定AB方向的棱，这有4种取法．不妨设取的棱就是AB，则AD方向只能取棱EH或棱FG，共2种可能．当AD方向取棱是EH或FG时，AE方向取棱分别只能是CG或DH．由上可知，3条棱两两异面的取法数为4×2=8，故所求概率为
域的面积为 ．
答案：24．解：设K1?{(x,y)||x|?|3y|?6?0}． 先考虑K1在第一象限中的部分，此时有
382． ?220556．在平面直角坐标系xOy中，点集(x,y)(x?3y?6)(3x?y?6)?0所对应的平面区
??x?3y?6,故这些点对应于图中的△OCD及其内
部．由对称性知，K1对应的区域是图中以原点O 为中心的菱形ABCD及其内部．
同理，设K2?{(x,y)||3x|?|y|?6?0}，则K2对应的区域是图中以O为中心的菱形EFGH及其内部．
由点集K的定义知，K所对应的平面区域是
被K1、K2中恰好一个所覆盖的部分，因此本题所要求的即为图中阴影区域的面积S．
由于直线CD的方程为x?3y?6，直线GH的方程为3x?y?6，故它们的交点P的坐标为(,)．由对称性知，S?8S?CPG?8??4?
7．设?为正实数，若存在实数a,b(??a?b?2?)，使得sin?a?sin?b?2，则?的取值范围为 ． 答案：w?[,)U[ 3322123?24． 29513,??)．解：sin?a?sin?b?2知，sin?a?sin?b?1，而
424si?a,?b?[w?,2w?]，故题目条件等价于：存在整数k,l(k?l)，使得 w??2k???22当w?4时，区间[w?,2w?]的长度不小于4?，故必存在k,l满足①式．
当0?w?4时，注意到[w?,2w?]?(0,8?)，故仅需考虑如下几种情况：
?2l????2w?． ①
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5?15?2w?，此时w?且w?无解；
22245?9?95(ii) w????2w?，此时?w?;
22429?13?13913(iii) w????2w?，此时?w?,得?w?4．
224249513综合(i)、(ii)、(iii)，并注意到w?4亦满足条件，可知w?[,)U[,??)．
424(i) w????
8．对四位数abcd(1?a?9,0?b，c,d?9)，若a?b,b?c,c?d,则称abcd为P类数；若a?b,b?c,c?d，则称abcd为Q类数，用N(P)和N(Q)分别表示P类数与Q类数的个数，则N(P)-N(Q)的值为 ．
答案：285．解：分别记P类数、Q类数的全体为A、B，再将个位数为零的P类数全体记为A0，个位数不等于零的尸类数全体记为A1．
对任一四位数abcd?A1，将其对应到四位数dcba，注意到a?b,b?c,c?d?1，故
dcba?B．反之，每个dcba?B唯一对应于从中的元素abcd．这建立了A1与B之间的
一一对应，因此有N(P)?N(Q)?|A|?|B|?|A0|?|A1|?|B|?|A1|．
下面计算|A0|对任一四位数abc0?A0, b可取0, 1，…，9，对其中每个b，由b?a?9及b?c?9知，a和c分别有9?b种取法，从而
|A0|??(9?b)??k2?2b?0k?1999?10?19?285． 6因此，N(P)?N(Q)?285．
二、解答题：本大题共3小题，满分56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 9．（本题满分16分）若实数a,b,c满足2?4?2,4?2?4，求c的最小值．
abcabc解：将2,2,2分别记为x,y,z，则x,y,z?0．
abc由条件知，x?y?z,x?y?z，故z?y?x?(z?y)?z?2yz?y．8分 因此，结合平均值不等式可得，
2222222224y4?y111133221132y?z??(2y??)??3??2．12分 22y4yy4yy411332当2y?，即y?3时，z的最小值为32（此时相应的x值为32，符合要y442求）．
由于c?log2z，故c的最小值log2(
10．（本题满分20分）设a1,a2,a3,a4为四个有理数，使得：
3352)?log23?．16分 43?aai31???1?i?j?4??24,?2,?,?,1,3?，求a1?a2?a3?a4的值． ?j28??,.
解：由条件可知，aiaj(1?i?j?4)是6个互不相同的数，且其中没有两个为相反数，由此知，a1,a2,a3,a4的绝对值互不相等，不妨设|a1|?|a2|?|a3|?|a4|，则
|ai||aj|(1?i?j?4)中最小的与次小的两个数分别是|a1||a2|及|a1||a3|，最大与次大的
两个数分别是|a3||a4|及|a2||a4|，从而必须有
1?aa??,?128??aa?1, 10 分 ?13?a2a4?3,???a3a4??24,113,a3?,a4???24a1． 于是a2??8a1a1a2132故{a2a3,a1a4}?{?2,?24a1}?{?2,?}，15分
8a121结合a1?Q，只可能a1??．
41111由此易知，a1?,a2??,a3?4,a4??6或者a1??,a2?,a3??4,a4?6．
4242检验知这两组解均满足问题的条件． 故a1?a2?a3?a4??9． 20 分 4x2?y2?1的左右焦11．（本题满分20分）在平面坐标系xOy中，F1,F2分别为椭圆2点，设不经过焦点F1的直线l与椭圆交于两个不同的点A,B，焦点F2到直线l的距离为d，
如果AF1,l,BF1的斜率依次成等差数列，求d的取值范围．
解：由条件知，点F1、F2的坐标分别为（-1, 0）和（l, 0) ．设直线l的方程为y?kx?m，
x2?(kx?m)2?1，即 点A、B的坐标分别为(x1,y1)和(x2,y2)，则x1,x2满足方程2(2k2?1)x2?4kmx?(2m2?2)?0．
由于点A、B不重合，且直线l的斜率存在，故x1,x2是方程①的两个不同实根，因此有①的判别式??(4km)?4?(2k?1)?(2m?2)?8(2k?1?m)?0，即
222222k2?1?m2．②
由直线AF1,l,BF1的斜率
y1yyy,k,2依次成等差数列知，1?2?2k，又x1?1x2?1x1?1x2?1y1?kx1?m,y2?kx2?m，所以(kx1?m)(x2?1)?(kx2?m)(x1?1)?2k(x1?1)(x2?1)，
化简并整理得，(m?k)(x1?x2?2)?0．
假如m?k，则直线l的方程为y?kx?k，即 z 经过点F1（-1, 0)，不符合条件． 因此必有x1?x2?2?0，故由方程①及韦达定理知，
4km??(x1?x2)?2，即22k?1m?k?1．③ 2k,.
由②、③知，2k?1?m?(k?反之，当m,k满足③及|k|?222121． )，化简得k2?2，这等价于|k|?22k4k2时，l必不经过点F1（否则将导致m?k，与③矛盾）, 2而此时m,k满足②，故l与椭圆有两个不同的交点A、B，同时也保证了AF1、BF1的斜率
存在（否则x1,x2中的某一个为- l，结合x1?x2?2?0知x1?x2??1，与方程①有两个不同的实根矛盾）．10分
点F2（l , 0）到直线l: y?kx?m的距离为
d?|k?m|1?k2?11?k2?|2k?1|?2k11?(2?2)．
2k1?1k212?1，则t?(1,3)，上式可改写为 ，令t?2k21t2313d??(?)??(t?)．
t222t13考虑到函数f(t)??(t?)在[1,3]上上单调递减，故由④得，f(3)?d?f(1)，
2t即d?(3,2)．20 分
注意到|k|?
1．（本题满分40分）设a1,a2,???,an(n?2)是实数，证明：可以选取?1,?2,???,?n???1,1?，使得(加试
?a)ii?1n2?(??iai)?(n?1)(?ai2)．
2i?1i?1nn]?[n?nnn222?? 证法一：我们证明：(?ai)??ai??aj?(n?1)(?ai)，① ?i?1?ni?1i?1??j?[]2??nn即对i?1,2,L,[]，取?i?1，对i?[]?1,L,n，取?i??1符合要求．（这里，[x]22表示实数x的整数部分．） 10分
2事实上，①的左边为
nn][][]?[n??????n?nn222?a?aj????ai??aj??2??ai??2??aj? ??i?i?1??i?1??i?1??n?nn?j?[]?1???????j?[]?1j?[]?122?2???????2222
2015年度全国高级中学数学联赛试卷解析汇报
