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多重积分的方法总结
计算根据被积区域和被积函数的形式要选择适当的方法处理，这里主要是看被积区域的形式来选择合适的坐标形式，并给区域一个相应的表达，从而可以转化多重积分为多次的积分形式．具体的一些作法在下面给出．
一．二重积分的计算
重积分的计算主要是化为多次的积分．这里首先要看被积区域的形式, 选择合适的坐标系来进行处理．二重积分主要给出了直角坐标系和极坐标系的计算方法．我们都可以从以下几个方面把握相应的具体处理过程：1.被积区域在几何直观上的表现（直观描述，易于把握）；2.被积分区域的集合表示（用于下一步确定多次积分的积分次序和相应的积分限）；3.化重积分为多次积分．
1. 在直角坐标下： (a) X-型区域
几何直观表现：用平行于y轴的直线穿过区域内部，与边界的交点最多两个．从而可以由下面和上面交点位于的曲线确定两个函数y?y1(x)和y?y2(x)；
被积区域的集合表示：D?{(x,y)a?x?b,y1(x)?y?y2(x)}； 二重积分化为二次积分：
??Df(x,y)dxdy??dx?aby2(x)y1(x)f(x,y)dy．
(b) Y-型区域
几何直观表现：用平行于x轴的直线穿过区域内部，与边界的交点最多两个．从而可以由左右交点位于的曲线确定两个函数x?x1(x)和x?x2(x)；
被积区域的集合表示：D?{(x,y)c?y?d,x1(x)?x?x2(x)}；
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二重积分化为二次积分：
??Df(x,y)dxdy??dx?cdx2(y)x1(y)f(x,y)dx．
2. 在极坐标下：
几何直观表现：从极点出发引射线线穿过区域内部，与边界的交点最多两个．从而可以由下面和上面交点位于的曲线确定两个函数r?r1(?)和r?r2(?)（具体如圆域，扇形域和环域等）；
被积区域的集合表示：D?{(r,?)?1????2,r1(?)?r?r2(?)}，注意，如果极点在被积区域的内部，则有特殊形式D?{(r,?)0???2?,0?r?r2(?)}； 直角坐标下的二重积分化为极坐标下的二重积分，并表示成相应的二次积分：
??Df(x,y)dxdy???f(rcos?,rsin?)rdrd???d??D?2r2(?)?1r1(?)f(rcos?,rsin?)rdr．
注：具体处理题目时，首要要能够选择适当的处理方法，并能够实现不同积分次序及直角坐标和极坐标的转化．
3. 二重积分的换元法：
z?f(x,y)在闭区域D上连续，设有变换
?x?x(u,v)T?,(u,v)?D? y?y(u,v)?将D?一一映射到D上，又x(u,v),y(u,v)关于u, v有一阶连续的偏导数，且
?(x,y)?0, (u,v)?D? ?(u,v)J?则有
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??f(x,y)dxdy???f(x(u,v),y(u,v))Jdudv．
DD?
二．
三重积分的计算
三重积分具体的处理过程类似于二重积分，也分为三个步骤来进行处理． 1. 在直角坐标下：
空间区域几何直观表现：用平行于z轴的直线穿过区域内部，与边界曲面的交点最多两个．从而可以由下面和上面交点位于的曲面确定两个函数z?z1(x,y)和z?z1(x,y)，并把区域投影到xoy面上从而确定(x,y)的范围，记为Dxy；
被积区域的集合表示：V?{(x,y,z)(x,y)?Dxy,z1(x,y)?z?z2(x,y)}, 进一步地, Dxy可以表示成X－型区域或Y－型区域;
三重积分化为三次积分：
???Vf(x,y,z)dV???dxdy?Dxybz2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz （所谓“二套一”的形式）
??dx?ay2(x)y1(x)dy?z2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz （Dxy为X－型）
??dy?cdx2(y)x1(y)dx?z2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz （Dxy为Y－型）
注：类似于以上的处理方法，把空间区域投影到 yoz面或zox面又可把三重积分转化成不同次序的三次积分．这时区域几何直观表现，区域的集合表示，以及新的三次积分次序如何？可见，三重积分最多可以对应六种积分次序．这里还有所谓一套二的处理方法，区域的直观表现为：平行于xoy面的截面面积容易求得．作为被积函数最好与x，y无关，即可表示为为f(z)．则区域表示为：
V?{(x,y,z)c?z?d,(x,y)?Dz},
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重积分总结
