《利用函数性质判定方程解的存在》教案
一、教材分析
1、教材内容分析
函数是高中的起始课程,也是中学数学的重要内容，它既是初等数学的基础，又是初等数学与高等数学的连接纽带。函数的重要性有两方面，一是函数的思想价值，二是函数应用的价值。
就本章而言，本节在中学教材结构中，起着承上启下的作用。一方面，本课内容可以看作是函数概念的一个深化，是函数概念外延的一次扩充。学习函数零点概念的目的是把函数与方程联系起来，用函数的观点研究方程，从本质上说就是将局部的问题放在整体中研究，将静态的结果放在动态的过程中研究，这为今后进一步学习函数与不等式等其它知识的联系奠定了坚实的基础．另一方面，函数零点概念的形成和零点存在性定理的发现，符合从特殊到一般的认识规律，有利于培养学生的概括归纳能力，也为数形结合思想提供了广阔的平台，同时又为下一节“用二分法求方程近似解”以及后续的学习提供了基础。 二、学情分析
1、学生已具备的知识基础
本节课之前，学生已经学习了函数的图象和性质，现在基本会画简单函数的图象，也会通过图象去研究理解函数的性质，这就为学生理解函数的零点提供了基础，学生已有的数形结合思想能让他们直观理解函数零点的存在性，因此从学生熟悉的一次、二次函数的图象入手介绍函数的零点，从认知规律上讲，学生是容易接受的。再者一元二次方程是初中的重要内容，学生已有较好的基础，对于它根的个数以及存在性，学生比较熟悉，这也为我们归纳函数的零点与方程的根的联系提供了知识基础。
2、学生所欠缺的能力
学生对于解题只注重结果，而背后的数学思想往往理解不够透彻，对于定理的认识表皮化，不够细致，深刻。加之函数零点的存在性的判定方法的表示抽象难懂。因此在教学中应更多的给学生动手的机会，让学生在实践中体验各个细节的重要性。从而直观地归纳、全面深刻的理解定理。 三、教学目标分析
1、知识与技能
①理解函数零点的概念
②理解函数零点与方程根的联系 ③掌握零点存在的判定方法
2、过程与方法
①经历“探究—归纳—应用”的过程 ②提高由特殊到一般的归纳思维能力
③理解并深化函数与方程思想，数形结合思想
3、情感态度与价值观
①体验自主探究，合作交流的乐趣
②激发学生的学习兴趣 ③培养学生严谨的科学态度 四、教学重难点分析
本着新课程标准的教学理念，针对教材与学情两个方面的分析，我确定本节课的教学重点与难点如下：
【重点】 理解零点概念；理解函数零点与方程根之间的关系；掌握函数零点存在性的判定方法。
【难点】 零点存在性原理。
五、教法与学法分析 1教法选择
建构主义理论认为：知识是在原有知识的基础上，在人与环境的相互作用过程中，通过同化和顺应，使自身的认知结构得以转换和发展。
在教法上，我从学生的“最近发展区”出发，以问题为核心，通过学生熟悉的例子入手创设情境，引出课题。借助多媒体通过教师的适时引导，学生间、师生间的交流互动，充分调动学生学习的主动性，让学生通过自己的分析、反思、对比得出结论，构建自己的知识体系，尝试合作学习的快乐，并在实际运用中体验成功的喜悦。由此，提出本节课的教法为：引导,问题链
提出问题——引导探究——得出结论——实际应用
2学法选择
在学法上，我以培养学生探究精神为出发点，着眼于知识的形成和发展，注重学生的学习体验，精心设置一个个问题链，并以此为主线，由浅入深、循序渐进，给不同层次的学生提供思考、创造、表现和成功的舞台。由此，提出本节课的学法有： 自主探究、合作交流、归纳法、发现法等 六、教学程序设计
一 情景导入
孙悟空 飞入水帘洞，身上会不会沾水？(假设水帘密闭） 改变速度（筋斗云）、体积呢（72般变化）？
二 概念理解：函数零点的概念 （要细致，解决做题中“会而不对”的问题）
3 观察函数 的图像（利用多媒体展示下图） y?(x?1)2?34
y x -1 3
-3 X=1
问题1通过预习 判断 图中的红点叫函数的零点?（准确理解概念）
由于阅读概念的粗糙与细致会形成对与错两种对立结果，师生共同分析产生的原因，进而促进后续学习中对知识把握的细致度!
后面的学习中，还有比如截距，极大值点等概念易犯相同错误。
设计意图：高考中很多学生由于审题不够细致，概念理解太过粗糙，解题过程慌慌张张，造成无谓失分，而这些就是“会而不对”的原因所在。所以在概念的初始学习时，就应该解决细致阅读，仔细理解的问题，达到一遍过手，记一个准一个的目的，进而逐步消化掉“会而不对”。
问题2准确说出上述函数的零点是？（简单应用）
三知识探究(浅)： 函数零点与方程根的关系。 （解决做题中思维方向的问题）
继续研究我们的战友函数的图像 ，零点侧重红点的横坐标，我们再加进纵坐标，一起研究
3 0 y?(x?1)2?3y 4-1 3 x -3 问题3 红点的纵坐标是多少? 0
3将纵坐标0代入函数得到 (x?1)2?3?0此为一个二次方程
4
问题4 考虑 问题2中 “ 3”是二次函数的什么？
“ 3”又是上述二次方程的什么？ “ -1”是不也有同样结论？
问题5归纳 函数y?f(x)的零点与方程f(x)?0有实数根有何关系?
问题6同一个实数既可以是零点，又可以是根。这是因为它的来源侧重不同，一个侧重于图像得出，一个侧重代数求解，他就像两只翅膀，交相辉映，可以带我们飞向知识的更高一层，它就是我们最常用的什么思想？
X=1
设计意图：问题3到5逐步引出函数零点与方程根的关系。通过观察，发现，并将结论推广到一般函数，体现了由特殊到一般的思想，同时也培养了学生的观察归纳能力。问题5,6在掌握知识的同时渗透、感悟函数与方程思想，数形结合思想。拉伸知识的内涵，提升到解题思想范畴，尽量往高考的意识形态，思维方向来靠。提升最核心的解题竞争力！高考中零点区间，二分法和零点个数都是核心问题，其考察直指以上数学思想！
例1：函数f(x)?(x?1)(x?1)(x?2)的零点为
A、1 B、?1和1 C、(?1,0),(1,0),(2,0) D、?1,1,2
设计意图：通过实例区分概念，函数零点是具体的自变量的取值，而不是一个点，突破了本节课的第一个重点，同时几何问题代数化，体会函数与方程思想，数形结合思想，把握住教学重点
练习1：求下列函数的零点
（1）f(x)?x?5x?6
知识探究(深)：函数零点存在性定理（解决学习中“知——会——深刻”的层次问题）
这部分内容分两个层次来处理
1. 强化主干知识，侧重核心。 继续关注老友函数，我们现在把视野由零点处向他的周围扩展。来判断一下什么情况下函数存在零点。
2f(-2)·-1·f(4)·3 x
f(1)
问题7观察零点“ 3”左右的两个红点，再观察零点“-1”左右的两个红点，朋友相互交流，归纳这两个红点有什么特点？
在x轴一上一下，即f(-2)f(1)<0 f(1)f(4)<0
学生再自主画图归纳，加深印象
问题8 反过来若f(a)f(b) <0, 则在a于b之间是否一定有零点？画图说明
如：y?11，f(-1)f(2)<0，可方程?0无解，因为函数图象不连续 xx 若f(x)连续，则一定有。
由此得出函数零点存在性定理：
如果函数y?f(x)在闭区间?a,b?上的图象是连续不断的一条曲线，并且有
f(a)f(b)?0，那么在区间(a,b)内函数y?f(x)至少有一个零点，即相应的方程
f(x)?0在区间(a,b)内至少有一个实数解。
2全面细化，不遗不漏。
问题9 定理中“至少有一个零点”只是说明了零点一定存在，但没说几个，根据你画的图像，能不能确定几个，能不能说明是奇数个零点?再加上什么条件可以保证恰好一个零点？
拓宽学生的画图思路（零点亦可以不穿过横轴，为问题11做好铺垫）也可以引出后续的零点个数问题。
问题10为什么定理中开始是闭区间[a,b],后来根存在的区间却是开区间(a,b)？
在教学过后，不少学生对于这个问题会比较费解。所以在初始学习时将细节解决彻底，免得学生的思想在此不断纠结，冲淡了教学的主题！
设计意图：这4个问题的设计就像音乐中的4 /4拍,强-弱-次强-弱，体现了学生学习的一般规律 知——会——全（深刻）。对新知识的理解有一个逐层递推，不断深化完善的过程。让学生体会学习的一个完整过程，从而纠正“一知就好，一会就停”的错误认识！
问题11 这个定理反过来说：函数y?f(x)连续，若它在(a,b)内有零点，能否推出
f(a)f(b)?0 ？画图说明。引导学生判断f(a)f(b)>0时，是不是一定无零点？
进一步深刻理解核心条件和结论的关系，方便以后联系充要条件，四种命题。
3
例2 判定函数f(x)=x+2x+1在[-2,3]上是否有零点 侧重定理的应用
3
例3判断方程x-x=0在[-2，2]上是否有解。 强调函数与方程，数形结合，转化思想
设计意图：对新知识的理解需要一个不断深化完善的过程，通过练习，一方面要能熟练掌
北师大版高中数学必修一：4.1.1 利用函数性质判断方程解的存在 7号教学设计
