2、在△ABC中，D为AB的中点，分别延长CA、CB到点E、F，使DE＝DF，过E、F分别作CA、CB的垂线相交于P，设线段PA、PB的中点分别为M、N。
C 求证：①△DEM≌△DFN ②∠PAE＝∠PBF
D A B E
F
M N
P
图10-7
3、如图10-8，在△ABC中，AB＝AC，底角B的三等分线交高线AD于M、N，边CN并延长交AB于E。 A 求证：EM∥BN
M E B N D 图10-8
C 数学竞赛专项训练（7）－36
4、如图10-9，半径不等的两圆相交于A、B两点，线段CD经过点A，且分别交两于C、D两点，连结BC、CD，设P、Q、K分别是BC、BD、CD中点M、N分别是弧BC和弧BD的中点。
A K C D BPNQ? 求证：①
PMQBP Q ②△KPM∽△NQKM B N 数学竞赛专项训练（7）－37
图10-9
数学竞赛专项训练（10）参考答案
一、选择题 1、解：S?BGD?111S?ABD??S?ABC?1(cm2)。选C。 3322、解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，则∠ABC＝60°，因为EB是∠B的
外角的平分线，所以∠ABE＝60°，因为E是∠C的平分线与∠B的平分线的交点，所以E点到CB的距离等于E到AB的距离，也等于E点到CA的距离，从而AE是∠A的外角的平分线。 所以?BAE?150??75?，∠AEB＝180°－60°－75°＝45°。应选B。 23、解：依题意在等腰三角形B′CB中，有∠B′CB＝α，∠B′＝90°－20°＝70°。 所以α＝180°－2×70°＝40°，即∠DCA＝α＝40°， 从而∠BDC＝∠DCA＋
∠A＝40°＋20°＝60°。应选D。 4、解：设AD为中线，则DG＝ S?GBC?S?CGG??1AG＝3，延长GD到G′，DG＝DG′＝3， 21?8?6?24 S?ABC?3S?GBC?72。应选C。 25、解：由折叠过程知，DE＝AD＝6，∠DAE＝∠CEF＝45°，所以△CEF是等腰直角三
角形，且EC＝8－6＝2，所以S△CEF＝2。故选A。
6、解：取△ABC的外心及BC中点M，连OB、OC、OM，由于∠A＝45°，故∠BOC
＝90°，OM＝
1a，由于AH＝2OM，AH＝a。应选C。 27、解：因为IA1＝IB1＝IC1＝2r（r为△ABC的内切圆半径），所以I点同时是△A1B1C1
的外接圆的圆心，设IA1与BC的交点为D，则IB＝IA1＝2ID，所以∠IBD＝30°。同理，∠IBA＝30°，于是∠ABC＝60°。故选C。
8、图中有6个直角，每一个直角对应两个直角三角形，共有12个直角三角形：△ADB、
△ADC、△BEA、△CFA、△CFB、△HDB、△HDC、△HEC、△HEA、△HFA、 △BEC、△HFB。故选D。
二、填空题
?BIC??BID??DIC?(1、解：
ABACA?)?(?)?90??2222240? ?90???110?2
2、解：连AC，即AD＝a，则在等腰Rt△ABC中
数学竞赛专项训练参考答案（10）－38
AC?AB?BC?8a?(3a)?a?CD?AD
有∠CAD＝90° ∠DAB＝∠DAC＋∠CAB＝90°+45°＝135°。 3、解：设折叠后所成圆形覆盖桌面的面积为S，则：
22222222S?S?ABC?S?AD1C?S?AEC?S矩形ABCD?S?AEC
S?AEC15?AB?EC?EC222
由Rt△ABE≌Rt△CD1E 知EC＝AE
222 设EC＝x，则AB?BE?x，即5?(12?x)?x
2216951698458452035 S?AEC??? S?5?12??24224484848154、解：答：15。
5911 设OA边上的高为h，则h≤OB，所以S?OAB?OA?h?OA?OB
22 解得：x? 当OA⊥OB时，等号成立，此时△OAB的面积最大。
设经过t秒时，OA与OB第一次垂直，又因为秒针1秒钟旋转6度，分针1秒钟旋
转0.1度，于是（6－0.1）t＝90，解得t=1515。 595、解：设等腰三角形底边为a，腰为b，作底角∠B的平分线交AC于D，则 ?B?1(180??36?)?70? ∴△BCD、△DAB均为等腰三角形。 2BCCDab?a ? 即?ABBCbaa?b5?1（取正） 2A G E B BD＝AD＝BC＝a，而CD＝b－a 由△BCD∽△ABC ∴
则有()?()?1?0 解得ab2ab6、解：如图分别过B、C两点作BG、CK平行于AM交直线EF
BEBGCECK? ? AEAPAFAPBECFBG?CK1?? 两式相加 又梯形BCKG中，PM＝AEAFAP2于G、K，则有
（BG+CK），而由P为重心得AP＝2PM 故
数学竞赛专项训练参考答案（10）－39
D M
F K C BECF2PM???1 AEAF2PM三、解答题
1、证明：∵正方形ABCD ∴OA⊥DE
∵DF⊥AE ∴F是△DAE的垂心 ∴EF⊥AD ∴EF∥AB ∵OA＝OB ∴OE＝OF
2、证明：①如图，据题设可知DM平行且等于BN，DN平行且等于AM， ∴∠AMD＝∠BND
∵M、N分别是Rt△AEP和Rt△BFP斜边的中点
∴EM＝AM＝DN FN＝BN＝DM
又已知DE＝DF ∴△DEM≌△DFN
②由上述全等三角形可知∠EMD＝∠FND ∴∠AME＝∠BNF 而△AME、△BNF均为等腰三角形 ∴∠PAE＝∠PBF。
A 3、证明：连结MC ∵AB＝BC，AD⊥BC ∴∠1＝∠2＝∠3
∵∠4＝∠5＝∠6 又∵∠7＝∠8 ∴M是△AEC的内心 7 8 ∴EM是∠AEN的平分线 ∴
AEAM ?ENMNM E B
3 2 1 又∵∠EBN＝2∠NBD＝2∠1 ∠ENB＝∠NBD＋∠4＝2∠1
N 5 6 4 AEAM ∴EB＝EN ∴ ∴EN∥BN ?EBMN
⌒D C 4、证明：①如图： 因为M是BC的中点，P是BC的中点，所以MP⊥BC，∠BPM
＝90°，连结AB，则有∠PBM＝＝90°－∠NBD＝∠QNB。 所以Rt△BPM∽Rt△NQB。于是有
111∠CAB＝（180°－∠DAB）＝90°－∠DAB
222BPNQ? MPBQ ②因为KP∥BD，且KP＝
1BD＝BQ，所以，四边形PBQK是平行四边形。于是，2KQNQ?有BP＝KQ BQ＝KP 由式①得。又∠KPM＝∠KPB＋90°＝∠KQBMPKP＋90°＝∠NQK，所以△KPM∽△NQK。
数学竞赛专项训练参考答案（10）－40
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