FD?PQBPBD55????CD?。因为PQ∥CA，所以
EABEBF5?2744?57?28 33于是PQ?140。因为PQ∥CA，PR∥CB，所以∠QPR＝∠ACB， 33因为△PQR∽△CAB故
S?PQRS?CAB?(PQ220400。 )?()2?CA3310895、1∶2∶6。解：设AD＝2，则BC＝5，FD＝1，EC＝3
∵GF∶GE＝FD∶EC＝1∶3，GF∶FE＝1∶2，S△GFD∶S△FED＝GF∶FE＝1∶2 显然有S△EFD∶S△CED＝FD∶EC＝1∶3，∴S△GFD∶S△FED∶S△CED＝1∶2∶6。 6、32。解：过点P作AB的平行线分别交DA、BC于E、F，过P作BC的平行线分
别交AB、CD于G、H。设AG＝DH＝a，BG＝CH＝b，AE＝BF＝c，DE＝CF＝d，则AP?a?c，CP＝b?d，BP?b?c，DP?d?a，
于是AP?CP?BP?DP，故DP2?AP2?CP2?BP2?32?52?42?18，
DP＝32。 三、解答题
22222222222222221112S矩形ABCD，得b?BE＝ab。∴BE＝a， 则3233111111EC＝a。同理FC＝b，∴S?CEF＝?a?b?ab。
332331812 ∵S梯形AECD?(EC?AD)?CD?ab，
232115a?ab?ab ∴S?AEF?S梯形AECD－S?CEF－S?ADF＝ab?3183185abS?AEF185??。 ∴
1S?CEF1ab181、设BC＝a，CD＝b，由S?ABE?2、答案提示：连结BE、AD，并把线段之比转化为两三角形面积之比；再约分。 3、解：①因AD∥BC，AB∥DC，所以?Pn?2FD∽Pn?2AB， ?P2BE∽P2DA
数学竞赛专项训练（7）－31
从而有
APn?2BPn?2n?2AP2DP2n?2??，??
Pn?2FPn?2D2P2EP2B2 即
APn?2AP2? 所以EF∥BD
Pn?2FP2FDF211，所以S?AFD??S，同理可证S?ABE?S
ABn?2n?2n?2DF2FCDC?DFDFn?4 显然，所以， ???1??DCn?2DCDCDCn?21n?423 从而知S?ECF?()S，已知S?AEF?S,所以有
2n?28 ②由①可知
311n?422(n?4)23 S?S?2?S?()S，即1???28n?22n?2n?22(n?2)8 解方程得n＝6。
4、证明：①连结OC、OC1，分别交PQ、NP于点D、E，根据题意得∠COC1＝45°。 ∵点O到AC和BC的距离都等于1，∴OC是∠ACB的平分线。 ∵∠ACB＝90° ∴∠OCE＝∠OCQ＝45°
同理∠OC1D＝∠OC1N＝45° ∴∠OEC＝∠ODC1＝90° ∴∠CQP＝∠CPQ＝∠C1PN＝∠C1NP＝45° ∴△CPQ和△C1NP都是等腰直角三角形。
∴∠BNM＝∠C1NP＝45° ∠A1QK＝∠CQP＝45° ∵∠B＝45° ∠A1＝45°
∴△BMN和△A1KQ都是等腰直角三角形。
∴∠B1ML＝∠BMN＝90°，∠AKL＝∠A1KQ＝90° ∴∠B1＝45° ∠A＝45°
∴△B1ML和△AKL也都是等腰直角三角形。
②在Rt△ODC1和Rt△OEC中， ∵OD＝OE＝1，∠COC1＝45°
∴OC＝OC1＝2 ∴CD＝C1E＝2-1
∴PQ＝NP＝2（2-1）＝22-2，CQ＝CP＝C1P＝C1N＝2（2-1）＝2－2 ∴S?CPQ?1?(2?2)2?3?22 2延长CO交AB于H
数学竞赛专项训练（7）－32
∵CO平分∠ACB，且AC＝BC
∴CH⊥AB， ∴CH＝CO＋OH＝2+1
∴AC＝BC＝A1C1＝B1C1＝2（2＋1）＝2＋2 ∴S?ABC?1?(2?2)2?3?22 2∵A1Q＝BN＝（2+2）－（22-2）－（2－2）＝2 ∴KQ＝MN＝
22＝2
∴S?BMN?1?(2)2?1 2∵AK＝（2+2）－（2－2）－2＝2
1?(2)2?1 2?S多边形KLMNPQ＝S?ABC-S?CPQ-S?BMN-S?AKL∴S?AKL? ＝(3?22)－（3?22)?1?1 ?42?2
初中数学竞赛专项训练（10）
（三角形的四心及性质、平移、旋转、覆盖）
一、填空题：
1、G是△ABC的重心，连结AG并延长交边BC于D，若△ABC的面积为6cm2， 则
△BGD的面积为（ ）
E A. 2cm2 B. 3 cm2
A 3C. 1 cm2 D. cm2
2C 数学竞赛专项训练（7）－33
B 图10-1
2、如图10-1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，∠C的平分线与∠B的外角的
平分线交于E点，则∠AEB是（ ） A. 50° B. 45° C. 40° D. 35° 3、在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝20°，如图10-2，将△B A’ ABC绕点C按逆时针方向旋转角α到∠A’C’B’的位置，其B’ D 中A’、B’分别是A、B的对应点，B在A’B’上，CA’交AB
C α A 于D，则∠BDC的度数为（ ）
图10-2
A. 40° B. 45° C. 50° D. 60°
4、设G是△ABC的垂心，且AG＝6，BG＝8，CG＝10，则三角形的面积为（ ） A. 58 B. 66 C. 72 D. 84
5、如图10-3，有一块矩形纸片ABCD，AB＝8，AD＝6，将纸片折叠，使AD边落在
AB边上，折痕为AE，再将△AED沿DE向右翻折，AE与BC的交点为F，△CEF的面积为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 D D B B B A A A
F
C D C C E E
图10-3
6、在△ABC中，∠A＝45°，BC＝a，高BE、CF交于点H，则AH＝（ ）
12B. C. a D. 2a a a
227、已知点I是锐角三角形ABC的内心，A1、B1、C1分别是点I关于BC、CA、AB的对
称点，若点B在△A1B1C1的外接圆上，则∠ABC等于（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
8、已知AD、BE、CF是锐角△ABC三条高线，垂心为H，则其图中直角三角形的个数
是（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 二、填空题
A A.
1、如图10-4，I是△ABC的内心，∠A＝40°，则∠CIB＝＿＿ 2、在凸四边形ABCD中，已知AB∶BC∶CD∶DA＝2∶2∶3∶1，B 且∠ABC＝90°，则∠DAB的度数是＿＿＿＿＿
3、如图10-5，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝12，将矩形ABCD
A B
数学竞赛专项训练（7）－34
I D 图10-4
C D C
E D’
图10-5
沿对角线对折，然后放在桌面上，折叠后所成的图形覆盖桌面的面积是＿＿＿＿＿＿＿
4、在一个圆形时钟的表面，OA表示秒针，OB表示分针（O为两针的旋转中心）若现在时间恰好是12点整，则经过＿＿＿＿秒钟后，△OAB的面积第一次达到最大。 5、已知等腰三角形顶角为36°，则底与腰的比值等于＿＿＿＿＿＿
6、已知AM是△ABC中BC边上的中线，P是△ABC的重心，过P作EF（EF∥BC），分别交AB、AC于E、F，则
BECF＝＿＿＿＿＿＿＿＿ ?AEAF三、解答题
1、如图10-6，在正方形ABCD的对角线OB上任取一点E，过D作AE的垂线与OA交于F。求证：OE＝OF
数学竞赛专项训练（7）－35
历年初中数学竞赛试题精选
