三、解答题
1、如图8-9,AD是△ABC中BC边上的中线, 求证:AD<
A C B D
图8-9
2、已知一个三角形的周长为P,问这个三角形的最大
C 边长度在哪个范围内变化?
3、如图8-10,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是
F E 角平分线,DE∥BC交AC于点E,DF∥AC交BC
于点F。
A B 求证:①四边形CEDF是正方形。 D ②CD2=2AE·BF 图8-10
4、从1、2、3、4……、2004中任选k个数,使所选的k个数中一定可以找到能构成三角形边长的三个数(这里要求三角形三边长互不相等),试问满足条件的k的最小值是多少?
1(AB+AC) 2数学竞赛专项训练(8)参考答案
一、选择题
1、如图过C作CE⊥AD于E,过D作DF⊥PB于F,过D作DG⊥CE于G。 显然DG=EF=
C G D P F B
A 1E AB=5,CD≥DG,当P为AB中点时,有
2CD=DG=5,所以CD长度的最小值是5。 2、如图延长AB、DC相交于E,在Rt△ADE中,可求得AE=16,DE=83,于是BE=AE-AB=9,在Rt△BEC中,可求得BC=33,CE=63,于是CD=DE-CE=23 BC+CD=53。
3、由已知AD+AE+EF+FD=EF+EB+BC+CF ∴AD+AE+FD=EB+BC+CF=
A D C 60° B E
A E B G H
D F C 1(AD?AB?BC?CD)?11 2数学竞赛专项训练(9)-21
AEDF ?EBFCAEDFk6kk4k 设 ??k,AE?AB?,DF?CD?EBFCk?1k?1k?1k?16k4k13k?313k?3 AD+AE+FD=3+ ∴???11 解得k=4
k?1k?1k?1k?1 ∵EF∥BC,∴EF∥AD,
作AH∥CD,AH交BC于H,交EF于G,
则GF=HC=AD=3,BH=BC-CH=9-3=6
∵
EGAE44242439 ∴EF?EG?GF? ??,∴EG?BH??3?BHAB555554、假设α、β、γ三个角都是锐角,即α<90°,β<90°,γ<90°,也就是A+B<90°,B+C<90°,C+A<90°。∵2(A+B+C)<270°,A+B+C<135°与A+B+C=180°矛盾。故α、β、γ不可能都是锐角,假设α、β、γ中有两个锐角,不妨设α、β是锐角,那么有A+B<90°,C+A<90°,∴A+(A+B+C)<180°,即A+180°<180°,A<0°这也不可能,所以α、β、γ中至多只有一个锐角,如A=20°,B=30°,C=130°,α=50°,选A。
5、折叠后,DE=BE,设DE=x,则AE=9-x,在Rt△ABC中,AB2+AE2=BE2,即
32?(9?x)2?x2,解得x=5,连结BD交EF于O,则EO=FO,BO=DO
∵BD?92?32?310 ∴DO=
22310 2?52?(31010)2? ∴EF=10。选22 在Rt△DOE中,EO=DE?DOB。
6、设△ABC中,AB=AC=a,BC=b,如图D是AB上一点,有AD=b,因a>b,故
∠A是△ABC的最小角,设∠A=Q,则以b,b,a为三边之三角A 形的最小角亦为Q,从而它与△ABC全等,所以DC=b,∠ACD
Q =Q,因有公共底角∠B,所以有等腰△ADC∽等腰△CBD,从
而得
BCBDba?ba?,即?,令x?,即得方程ABBCabba?b5?1。选B。 2B
D C
x2?x?1?0,解得x?7、C。由于任意凸多边形的所有外角之和都是360°,故外角中钝角的个数不能超过3
个,又因为内角与外角互补,因此,内角中锐角最多不能超过3个,实际上,容易构造出内角中有三个锐角的凸10边形。
数学竞赛专项训练(9)-22
8、A。设点A的坐标为(x,y),则xy?1,故△ABO的面积为
11xy?,又因为△22ABO与△CBO同底等高,因此△ABC的面积=2×△ABO的面积=1。
二、填空题
1、如图设四边形ABCD的一组对边AB和CD的中点分别为
M、N,MN=d,另一组对边是AD和BC,其长度分别A P 为a、b,连结BD,设P是BD的中点,连结MP、PN,
M aba?b则MP=,NP=,显然恒有d?,当AD∥BC,
222B
由平行线等分线段定理知M、N、P三点共线,此时有
D N C
d?a?ba?ba?ba?b,所以d与的大小关系是d?(或?d)。 22221(180??x) 22、12°。设∠BAC的度数为x,∵AB=BB′ ∴∠B′BD=2x,∠CBD=4x ∵AB=AA′ ∴∠AA′B=∠AB A′=∠CBD=4x ∵∠A′AB= ∴
1(180??x)?4x?4x?180?,于是可解出x=12°。 23、以3,5,7,9,11构成的三数组不难列举出共有10组,它们是(3,5,7)、(3,5,
9)、(3,5,11)、(3,7,9)、(3,7,11)、(3,9,11)、(5,7,9)、(5,7,11)、(5,9,11)、(7,9,11)。由3+5<9,3+5<11,3+7<11可以判定(3,5,9)、(3,5,11)、(3,7,11)这三组不能构成三角形的边长,因此共有7个数组构成三角形三边长。
4、过P作AB的平行线分别交DA、BC于E、F,过P作BC
E A D 的平行线分别交AB、CD于G、H。
a a H 设AG=DH=a,BG=CH=b,AE=BF=c,DE=CF=d, G P b b 222222AP?a?c,CP?b?d,B c F d C 则
BP2?b2?c2, DP2=d2?a22222于是AP?CP?BP?DP,故DP?AP?CP?BP?3?5?4?18, DP=32
5、①设冬天太阳最低时,甲楼最高处A点的影子落在乙楼的C处,那么图中CD的长
度就是甲楼的影子在乙楼上的高度,设CE⊥AB于点E,那么在△AEC中,∠AEC=90°,∠ACE=30°,EC=20米。 所以AE=EC?tan?ACE?20?tan30??20?22222223?11.63A 16 米 甲 E 数学竞赛专项训练(9)-23
C 20乙 D B (米)。
CD=EB=AB-AE=16-11.6=4.4(米)
②设点A的影子落到地面上某一点C,则在△ABC中,∠ACB=30°,AB=16米,所以BC?AB?cot?ACB?16?3?27.7(米)。所以要使甲楼的影子不影响乙楼,那么乙楼距离甲楼至少要27.7米。
6、提示:由题意∠APB=∠BPC=∠CPA=120°,设∠PBC=α,∠ABC=60° 则∠ABP=60°-α,∴∠BAP=∠PBC=α, ∴△ABP∽△BPC,
APBP,BP2=AP·PC ?BPPCA BP?AP?PC?48?43
B D C 三、解答题
1、证明:如图延长AD至E,使AD=DE,连结BE。
∵BD=DC,AD=DE,∠ADC=∠EDB ∴△ACD≌△EBD ∴AC=BE
E 1在△ABE中,AE<AB+BE,即2AD<AB+AC ∴AD<(AB+AC)
2在△ABC中,不妨设a≤b≤c ∵a+b>c?a+b+c>2c 即p>2c?c<另一方面c≥a且c≥b?2c≥a+b ∴3c?a?b?c?p?c?因此
2、答案提示:
p, 2p。 3pp?c? 323、证明:①∵∠ACB=90°,DE∥BC,DF∥AC,∴DE⊥AC,DE⊥BC, 从而∠ECF=∠DEC=∠DFC=90°。
∵CD是角平分线 ∴DE=DF,即知四边形CEDF是正方形。 ②在Rt△AED和Rt△DFB中, ∵DE∥BC ∴∠ADE=∠B ∴Rt△AED∽Rt△DFB
∴
AEDE?,即DE·DF=AE·BF ∵CD=2DE=2DF, DFBF2∴CD?2DE?2DF?2DE?DF?2AE?BF
4、解:这一问题等价于在1,2,3,……,2004中选k-1个数,使其中任意三个数都
不能成为三边互不相等的一个三角形三边的长,试问满足这一条件的k的最大值是多少?符合上述条件的数组,当k=4时,最小的三个数就是1,2,3,由此可不断扩大该数组,只要加入的数大于或等于已得数组中最大的两个数之和,所以,为使k
数学竞赛专项训练(9)-24
达到最大,可选加入之数等于已得数组中最大的两数之和,这样得:
1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597 ①
共16个数,对符合上述条件的任数组,a1,a2……an显然总有ai大于等于①中的第i个数,所以n≤16≤k-1,从而知k的最小值为17。
初中数学竞赛专项训练(9)
(面积及等积变换)
一、选择题:
1、如图9-1,在梯形ABCD中,AB∥CD,AC与BD交于O,点P在AB的延长线上,且BP=CD,则图形中面积相等的三角形有 ( ) A. 3对 B. 4对 C C D D C. 5对 D. 6对 G F 2、如图9-2,点E、F分别是矩形ABCD的边AB、BCO B A E A P B 的中点,连AF、CE,设AF、CE交于点G,则图9-2 图9-1
S四边形AGCDS矩形ABCD A.
等于 ( )
5 6B.
4 5C.
3 4D.
2 33、设△ABC的面积为1,D是边AB上一点,且四边形DECB的面积为 A.
AD1=,若在边AC上取一点E,使AB3 D.
( )
1 23CE,则的值为 4EA11B. C.
341 5E F C B 4、如图9-3,在△ABC中,∠ACB=90°,分别以AC、AB为边,在△ABC外作正方形ACEF和正方形AGHB,作CK⊥AB,分别交AB和GH于D和K,则正方形ACEF的面积S1与矩形AGKD的面积S2的大小关系是 ( ) A. S1=S2 B. S1>S2 C. S1<S2
D. 不能确定,与
A D G K H 图9-3 D C B
AC的大小有关 AB5、如图9-4,四边形ABCD中,∠A=60°,∠B=∠D=90°, A AD=8,AB=7,则BC+CD等于 ( ) 图9-4 A. 63
B. 53
C. 43
D. 33
Ⅰ 数学竞赛专项训练(9)-25
a Ⅱ a Ⅰ a Ⅲ b b Ⅲ Ⅳ Ⅱ Ⅳ b a 图9-5
b
历年初中数学竞赛试题精选
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