三、解答题
1、如图8-9，AD是△ABC中BC边上的中线， 求证：AD＜
A C B D
图8-9
2、已知一个三角形的周长为P，问这个三角形的最大
C 边长度在哪个范围内变化？
3、如图8-10，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是
F E 角平分线，DE∥BC交AC于点E，DF∥AC交BC
于点F。
A B 求证：①四边形CEDF是正方形。 D ②CD2＝2AE·BF 图8-10
4、从1、2、3、4……、2004中任选k个数，使所选的k个数中一定可以找到能构成三角形边长的三个数（这里要求三角形三边长互不相等），试问满足条件的k的最小值是多少？
1（AB+AC） 2数学竞赛专项训练（8）参考答案
一、选择题
1、如图过C作CE⊥AD于E，过D作DF⊥PB于F，过D作DG⊥CE于G。 显然DG＝EF＝
C G D P F B
A 1E AB＝5，CD≥DG，当P为AB中点时，有
2CD＝DG＝5，所以CD长度的最小值是5。 2、如图延长AB、DC相交于E，在Rt△ADE中，可求得AE＝16，DE＝83，于是BE＝AE－AB＝9，在Rt△BEC中，可求得BC＝33，CE＝63，于是CD＝DE－CE＝23 BC＋CD＝53。
3、由已知AD+AE+EF+FD＝EF+EB+BC+CF ∴AD+AE+FD＝EB+BC+CF＝
A D C 60° B E
A E B G H
D F C 1(AD?AB?BC?CD)?11 2数学竞赛专项训练（9）－21
AEDF ?EBFCAEDFk6kk4k 设 ??k，AE?AB?，DF?CD?EBFCk?1k?1k?1k?16k4k13k?313k?3 AD+AE+FD＝3+ ∴???11 解得k＝4
k?1k?1k?1k?1 ∵EF∥BC，∴EF∥AD，
作AH∥CD，AH交BC于H，交EF于G，
则GF＝HC＝AD＝3，BH＝BC－CH＝9-3＝6
∵
EGAE44242439 ∴EF?EG?GF? ??，∴EG?BH??3?BHAB555554、假设α、β、γ三个角都是锐角，即α＜90°，β＜90°，γ＜90°，也就是A+B＜90°，B+C＜90°，C+A＜90°。∵2（A+B+C）＜270°，A＋B＋C＜135°与A＋B＋C＝180°矛盾。故α、β、γ不可能都是锐角，假设α、β、γ中有两个锐角，不妨设α、β是锐角，那么有A＋B＜90°，C＋A＜90°，∴A＋(A＋B＋C)<180°，即A+180°＜180°，A＜0°这也不可能，所以α、β、γ中至多只有一个锐角，如A＝20°，B＝30°，C＝130°，α＝50°，选A。
5、折叠后，DE＝BE，设DE＝x，则AE＝9－x，在Rt△ABC中，AB2＋AE2＝BE2，即
32?(9?x)2?x2，解得x＝5，连结BD交EF于O，则EO＝FO，BO＝DO
∵BD?92?32?310 ∴DO＝
22310 2?52?(31010)2? ∴EF＝10。选22 在Rt△DOE中，EO＝DE?DOB。
6、设△ABC中，AB＝AC＝a，BC＝b，如图D是AB上一点，有AD＝b，因a>b，故
∠A是△ABC的最小角，设∠A＝Q，则以b,b,a为三边之三角A 形的最小角亦为Q，从而它与△ABC全等，所以DC＝b，∠ACD
Q ＝Q，因有公共底角∠B，所以有等腰△ADC∽等腰△CBD，从
而得
BCBDba?ba?，即?，令x?，即得方程ABBCabba?b5?1。选B。 2B
D C
x2?x?1?0，解得x?7、C。由于任意凸多边形的所有外角之和都是360°，故外角中钝角的个数不能超过3
个，又因为内角与外角互补，因此，内角中锐角最多不能超过3个，实际上，容易构造出内角中有三个锐角的凸10边形。
数学竞赛专项训练（9）－22
8、A。设点A的坐标为（x，y），则xy?1，故△ABO的面积为
11xy?，又因为△22ABO与△CBO同底等高，因此△ABC的面积＝2×△ABO的面积＝1。
二、填空题
1、如图设四边形ABCD的一组对边AB和CD的中点分别为
M、N，MN＝d，另一组对边是AD和BC，其长度分别A P 为a、b，连结BD，设P是BD的中点，连结MP、PN，
M aba?b则MP＝，NP＝，显然恒有d?，当AD∥BC，
222B
由平行线等分线段定理知M、N、P三点共线，此时有
D N C
d?a?ba?ba?ba?b，所以d与的大小关系是d?(或?d)。 22221(180??x) 22、12°。设∠BAC的度数为x，∵AB＝BB′ ∴∠B′BD＝2x，∠CBD＝4x ∵AB＝AA′ ∴∠AA′B＝∠AB A′＝∠CBD＝4x ∵∠A′AB＝ ∴
1(180??x)?4x?4x?180?，于是可解出x＝12°。 23、以3，5，7，9，11构成的三数组不难列举出共有10组，它们是（3，5，7）、（3，5，
9）、（3，5，11）、（3，7，9）、（3，7，11）、（3，9，11）、（5，7，9）、（5，7，11）、（5，9，11）、（7，9，11）。由3+5＜9，3+5＜11，3+7＜11可以判定（3，5，9）、（3，5，11）、（3，7，11）这三组不能构成三角形的边长，因此共有7个数组构成三角形三边长。
4、过P作AB的平行线分别交DA、BC于E、F，过P作BC
E A D 的平行线分别交AB、CD于G、H。
a a H 设AG＝DH＝a，BG＝CH＝b，AE＝BF＝c，DE＝CF＝d， G P b b 222222AP?a?c，CP?b?d，B c F d C 则
BP2?b2?c2， DP2＝d2?a22222于是AP?CP?BP?DP，故DP?AP?CP?BP?3?5?4?18， DP＝32
5、①设冬天太阳最低时，甲楼最高处A点的影子落在乙楼的C处，那么图中CD的长
度就是甲楼的影子在乙楼上的高度，设CE⊥AB于点E，那么在△AEC中，∠AEC＝90°，∠ACE＝30°，EC＝20米。 所以AE＝EC?tan?ACE?20?tan30??20?22222223?11.63A 16 米 甲 E 数学竞赛专项训练（9）－23
C 20乙 D B （米）。
CD＝EB＝AB-AE＝16-11.6＝4.4（米）
②设点A的影子落到地面上某一点C，则在△ABC中，∠ACB＝30°，AB＝16米，所以BC?AB?cot?ACB?16?3?27.7（米）。所以要使甲楼的影子不影响乙楼，那么乙楼距离甲楼至少要27.7米。
6、提示：由题意∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，设∠PBC＝α，∠ABC＝60° 则∠ABP＝60°－α，∴∠BAP＝∠PBC＝α， ∴△ABP∽△BPC，
APBP，BP2＝AP·PC ?BPPCA BP?AP?PC?48?43
B D C 三、解答题
1、证明：如图延长AD至E，使AD＝DE，连结BE。
∵BD＝DC，AD＝DE，∠ADC＝∠EDB ∴△ACD≌△EBD ∴AC＝BE
E 1在△ABE中，AE＜AB＋BE，即2AD＜AB＋AC ∴AD＜（AB＋AC）
2在△ABC中，不妨设a≤b≤c ∵a+b>c?a+b+c>2c 即p>2c?c<另一方面c≥a且c≥b?2c≥a+b ∴3c?a?b?c?p?c?因此
2、答案提示：
p， 2p。 3pp?c? 323、证明：①∵∠ACB＝90°，DE∥BC，DF∥AC，∴DE⊥AC，DE⊥BC， 从而∠ECF＝∠DEC＝∠DFC＝90°。
∵CD是角平分线 ∴DE＝DF，即知四边形CEDF是正方形。 ②在Rt△AED和Rt△DFB中， ∵DE∥BC ∴∠ADE＝∠B ∴Rt△AED∽Rt△DFB
∴
AEDE?，即DE·DF＝AE·BF ∵CD＝2DE＝2DF， DFBF2∴CD?2DE?2DF?2DE?DF?2AE?BF
4、解：这一问题等价于在1，2，3，……，2004中选k－1个数，使其中任意三个数都
不能成为三边互不相等的一个三角形三边的长，试问满足这一条件的k的最大值是多少？符合上述条件的数组，当k＝4时，最小的三个数就是1，2，3，由此可不断扩大该数组，只要加入的数大于或等于已得数组中最大的两个数之和，所以，为使k
数学竞赛专项训练（9）－24
达到最大，可选加入之数等于已得数组中最大的两数之和，这样得：
1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，1597 ①
共16个数，对符合上述条件的任数组，a1，a2……an显然总有ai大于等于①中的第i个数，所以n≤16≤k－1，从而知k的最小值为17。
初中数学竞赛专项训练（9）
（面积及等积变换）
一、选择题：
1、如图9-1，在梯形ABCD中，AB∥CD，AC与BD交于O，点P在AB的延长线上，且BP＝CD，则图形中面积相等的三角形有 （ ） A. 3对 B. 4对 C C D D C. 5对 D. 6对 G F 2、如图9-2，点E、F分别是矩形ABCD的边AB、BCO B A E A P B 的中点，连AF、CE，设AF、CE交于点G，则图9-2 图9-1
S四边形AGCDS矩形ABCD A.
等于 （ ）
5 6B.
4 5C.
3 4D.
2 33、设△ABC的面积为1，D是边AB上一点，且四边形DECB的面积为 A.
AD1＝，若在边AC上取一点E，使AB3 D.
（ ）
1 23CE，则的值为 4EA11B. C.
341 5E F C B 4、如图9-3，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC、AB为边，在△ABC外作正方形ACEF和正方形AGHB，作CK⊥AB，分别交AB和GH于D和K，则正方形ACEF的面积S1与矩形AGKD的面积S2的大小关系是 （ ） A. S1＝S2 B. S1＞S2 C. S1＜S2
D. 不能确定，与
A D G K H 图9-3 D C B
AC的大小有关 AB5、如图9-4，四边形ABCD中，∠A＝60°，∠B＝∠D＝90°， A AD＝8，AB＝7，则BC+CD等于 （ ） 图9-4 A. 63
B. 53
C. 43
D. 33
Ⅰ 数学竞赛专项训练（9）－25
a Ⅱ a Ⅰ a Ⅲ b b Ⅲ Ⅳ Ⅱ Ⅳ b a 图9-5
b
历年初中数学竞赛试题精选
