＝5或n＝8，当n=5时，k=18，当n=8时，k＝9，共有两种方案。应选B。 5、答D。解：由
nnn???n，以及若x不是整数，则［x］＜x知，2|n，3|n，6|n，236?100??16个。应选D。 ?6??即n是6的倍数，因此小于100的这样的正整数有?6、答C。解设参加跳舞的老师有x人，则第一个是方老师和（6+1）个学生跳过舞；第
二是张老师和（6+2）个学生跳过舞；第三个是王老师和（6+3）个学生跳过舞……第x个是何老师和（6+x）个学生跳过舞，所以有x＋（6+x）＝20，∴x＝7，20-7＝13。故选C。 7、答C。解：如图对展室作黑白相间染色，得10个白室，15个黑室，按要求不返回参观过的展室，因此，参观时必定是从黑室到白室或从白室到黑室（不会出现从黑到黑，或从白到白），由于白室只有10个，为使参观的展室最多，只能从黑室开始，顺次经过所有的白室，最终到达黑室，所以，至多能参观到21个展室。选C。
8、选B。解：4种花色相当于4个抽屉，设最少要抽x张扑克，问题相当于把x张扑克放进4个抽屉，至少有4张牌在同一个抽屉，有x=3×4+1＝13。故选B。 二、填空题
1、解：根据图中①、②、③的规律，可知图④中的三角形的个数为1+4+3×4+32×4+33
×4＝1+4+12+36+108＝161（个）
2、解：根据题意，如果扑克牌的张数为2、22、23、……2n，那么依照上述操作方法，剩下的一张牌就是这些牌的最后一张，例如：手中只有64张牌，依照上述操作方法，最后只剩下第64张牌，现在手中有108张牌，多出108-64＝44（张），如果依照上述操作方法，先丢掉44张牌，那么此时手中恰有64张牌，而原来顺序的第88张牌恰好放在手中牌的最底层，这样，再继续进行丢、留的操作，最后剩下的就是原顺序的第88张牌，按照两副扑克牌的花色排列顺序88-54-2-26＝6，所剩的最后一张牌是第二副牌中的方块6。
3、解：百位上的数共有9个，十位上的数共有10个，个位上的数共有2个，因此所有的三位数共9×10×2＝180。
4、解：设放在三个盒子里的球数分别为x、y、z，球无区别，盒子无区别，故可令
6、7共五个值。
?x?y?z?71x?y?0，依题意有?，于是3x?7，x?2，故x只有取3、4、5、
3?x?y?z?0数学竞赛专项训练（9）－16
①x?3时，y?z?4，则y只取3、2，相应z取1、2，故有2种放法； ②x＝4时，y?z?3，则y只取3、2，相应z取0、1，故有2种放法； ③x＝5时，y?z?2，则y只取2、1，相应z取1、0，故有2种放法； ④x＝6时，y?z?1，则y只取1，相应z取0，故有1种放法； ⑤x＝7时，y?z?0，则y只取0，相应z取0，故有1种放法； 综上所求，故有8种不同放法。
5、解：先把第999个（中间）“－”改为“＋”，然后，对乙的每次改动，甲做与之中心对称的改动，视数字为点，对应在数轴上，这1997个点正好关于点（999）对称。 6、解：由题意说假话的至少有1人，但不多于1人，所以说假话的1人，说真话的99人。
三、1、解：1+2+3+……9＝45，故正方形的边长最多为11，而组成的正方形的边长至少有两条线段的和，故边长最小为7。 7＝1+6＝2+5＝3+4 8＝1+7＝2+6＝3+5 9+1＝8+2＝7+3＝6+4 9+2＝8+3＝7+4＝6+5 9＝1+8＝2+7＝3+6＝4+5
故边长为7、8、10、11的正方形各一个，共4个。而边长为9的边可有5种可能能组成5种不同的正方形。所以有9种不同的方法组成正方形。
2、证明：利用抽屉原理，按植树的多少，从50至100株可以构造51年抽屉，则问题转化为至少有5人植树的株数在同一个抽屉里。（用反证法）假设无5人或5人以上植树的株数在同一个抽屉里，那只有4人以下植树的株数在同一个抽屉里，而参加植树的人数为204人，每个抽屉最多有4人，故植树的总株数最多有： 4（50＋51＋52＋……＋100）＝4×
(50?100)?51＝15300＜15301，得出矛盾。因此，
2至少有5人植树的株数相同。 3、解：王华获胜。
王华先取2个弹子，将2000（是4的倍数）个弹子留给张伟取，不记张伟取多少个弹子，设为x个，王华总跟着取（4－x）个，这样总保证将4的倍数个弹子留给张伟取，如此下去，最后一次是将4个弹子留给张伟取，张伟取后，王华一次取完余下的弹子。
4、解析在研究与某些元素间关系相关的存在问题时，常常利用染色造抽屉解题。17位科学家看作17个点，每两位科学家互相通信看作是两点的连线段，关于三个问题通信可看作是用三种颜色染成的线段，如用红色表示关于问题甲的通信，蓝色表示问题乙通
数学竞赛专项训练（9）－17
信，黄色表示问题丙通信。这样等价于：有17个点，任三点不共线，每两点连成一条线段，把每条线段染成红色、蓝色和黄色，且每条线段只染一种颜色，证明一定存在一个三角形三边同色的三角形。
证明：从17个点中的一点，比如点A处作引16条线段，共三种颜色，由抽屉原理至少有6条线段同色，设为AB、AC、AD、AE、AF、AG且均为红色。
若B、C、D、E、F、G这六个点中有两点连线为红线，设这两点为B、C，则△ABC是一个三边同为红色的三角形。
若B、C、D、E、F、G这六点中任两点的连线不是红色，则考虑5条线段BC、BD、BE、BF、BG的颜色只能是两种，必有3条线段同色，设为BC、BD、BE均为黄色，再研究△CDE的三边的颜色，要么同为蓝色，则△CDE是一个三边同色的三角形，要么至少有一边为黄色，设这边为CD，则△CDE是一个三边同为黄色的三角形。
初中数学竞赛专项训练（8）
（命题及三角形边角不等关系）
一、选择题：
1、如图8-1，已知AB＝10，P是线段AB上任意一点，在AB的同侧分别以AP和PB为边作两个等边三角形APC和BPD，则线段CD的长度的最小值是 （ ） A. 4
B. 5
C. 6
D. 5(5?1)
2、如图8-2，四边形ABCD中∠A＝60°，∠B＝∠D＝90°，AD＝8，AB＝7， 则BC＋CD等于 （ ） A. 63
B. 53
C. 43
D. 33
3、如图8-3，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝3，BC＝9，AB＝6，CD＝4，若EF∥BC，且梯形AEFD与梯形EBCF的周长相等，则EF的长为 （ ） A.
D D 60° A A B P
图8-2 图8-1
4、已知△ABC的三个内角为A、B、Cγ中，锐角的个数最多为
45 7C B. 33
5C. 39
5C B
E B A D. 15
2D F C 图8-3
且α＝A+B，β＝C+A，γ＝C+B，则α、β、 （ ）
数学竞赛专项训练（9）－18
A. 1 B. 2 C. 3 D. 0
5、如图8-4，矩形ABCD的长AD＝9cm，宽AB＝3cm，将其折叠，使点D与点B重合，那么折叠后DE的长和折痕EF的长分别为 （ ）
E D A A D A. 4cm 10cm B. 5cm 10cm
B F C C B C C. 4cm 23cm D. 5cm 23cm
图8-4
6、一个三角形的三边长分别为a，a，b，另一个三角形的三边长分别为a，b，b，其中a>b，若两个三角形的最小内角相等，则 A.
3?1 2a的值等于 b3?2 2 D. D. 5
5?2 2（ ）
B.
5?1 2C.
7、在凸10边形的所有内角中，锐角的个数最多是 A. 0 B. 1 C. 3 8、若函数y?kx(k?0)与函数y?△ABC的面积为 A. 1 B. 2 二、填空题
（ ）
1的图象相交于A，C两点，AB垂直x轴于B，则x C. k
D. k2
（ ）
1、若四边形的一组对边中点的连线的长为d，另一组对边的长分别为a，b，则d与的大小关系是＿＿＿＿＿＿＿
C 2、如图8-5，AA′、BB′分别是∠EAB、∠DBC的平分线，若AA′＝BB′＝AB，则∠BAC的度数为＿＿＿ 3、已知五条线段长度分别是3、5、7、9、11，将其中不同
A · E A′
B 图8-5
a?b2B′ D 的三个数组成三数组，比如（3、5、7）、（5、9、11）……问有多少组中的三个数恰好构成一个三角形的三条边的长＿＿＿＿＿
4、如图8-6，P是矩形ABCD内一点，若PA＝3，PB＝4，PC＝5，则PD＝＿＿＿＿＿＿＿
5、如图8-7，甲楼楼高16米，乙楼座落在甲楼的正北
数学竞赛专项训练（9）－19 16 米 甲 20米 A B P 图8-6 A C 乙 D C A P B B D 图8-7 图8-8
C 面，已知当地冬至中午12时太阳光线与水平面的夹角为30°，此时求①如果两楼相距20米，那么甲楼的影子落在乙楼上有多高？＿＿＿＿＿＿②如果甲楼的影子刚好不落在乙楼上，那么两楼的距离应当是＿＿＿＿＿＿米。
6、如图8-8，在△ABC中，∠ABC＝60°，点P是△ABC内的一点，使得∠APB＝∠BPC＝∠CPA，且PA＝8，PC＝6，则PB＝＿＿
数学竞赛专项训练（9）－20
历年初中数学竞赛试题精选
