?x?2y ①? ?y?z?7 ② ?x?y?z?70且x?y?z为质数 ③? 显然x?y?z是两位数，而13＝4+9＝5+8＝6+7
∴x?y?z只能等于67 ④。由①②④三式构成的方程组，得x?30，y?15，
z?22。
三、解答题
1、设甲、乙、丙单独承包各需x、y、z天完成，
?115?x?y?12??x?4??114 则???解得?y?6
?yz15?z?10??117????zx20 再设甲、乙、丙单独工作一天，各需u、v、w元，
?12?5(u?v)?180000?u?45500???15 则?(v?w)?150000，解得?v?29500
?w?10500?4??20?7(w?u)?160000? 于是，甲队单独承包费用是45500×4＝182000（元），由乙队单独承包费用是29500×
6＝177000（元），而丙不能在一周内完成，所以，乙队承包费最少。
2、解：设甲、乙最后所购得的汽车总数为x辆，在生产厂最后少供的6辆车中，甲少要
了y辆（0?y?6），乙少要了（6?y）辆，则有
31(x?6)?6?y?2[(x?6)?6?(6?y)]，整理后得x?18?12y。 44 当y?6时，x最大，为90；当y?0时，x最小为18。
所以甲、乙购得的汽车总数至多为90辆，至少为18辆。
3、解：［方案一］：当小汽车出现故障时，乘这辆车的4个人下车步行，另一辆车将车内
数学竞赛专项训练（9）－11
的4个人送到火车站，立即返回接步行的4个人到火车站。 设乘出现故障汽车的4个人步行的距离为xkm，根据题意，有
x15?15?x ?56030 解得x?，因此这8个人全部到火车站所需时间为
133030355 ?5?(15?)?60??小时?＝40（分钟）?42（分钟）13135213
故此方案可行。 ［方案二］：当小汽车出现故障时，乘这辆车的4个人下车步行，另一辆车将车内的4
个人送到某地方后，让他们下车步行，再立即返回接出故障汽车而步行的另外4个人，使得两批人员最后同时到达车站。
分析此方案可知，两批人员步行的距离相同，如图所示，D为无故障汽车人员下车地
点，C为有故障汽车人员上车地点。因此，设AC＝BD＝y，有
y15?y?15?2y解得y?2。因此这8个人同时到火车站所需时间为 ?560215?237 ，故此方案可行。 ??（小时）?37(分钟）＜42（分钟）56060
A · C ·
D · B ·
火车站 故障点
4、解：假定排除故障花时x分钟，如图设点A为县城所在地，点C为学校所在地，点B为师生途中与汽车相遇之处。在师生们晚到县城的30分钟中，有10分钟是因晚出发造成的，还有20分钟是由于从C到B步行代替乘车而耽误的，汽车所晚的30分钟，一方面是由于排除故障耽误了x分钟，但另一方面由于少跑了B到C之间的一个来回而省下了一些时间，已知汽车速度是步行速度的6倍，而步行比汽车从C到B这段距
离要多花20分钟，由此汽车由C到B应花
20，一个来回省下8分钟，?4（分钟）
6?1所以有x-8＝30 x＝38 即汽车在途中排除故障花了38分钟。
A · B · C ·
初中数学竞赛专项训练（7）
（逻辑推理）
数学竞赛专项训练（9）－12
一、选择题：
1、世界杯足球赛小组赛，每个小组4个队进行单循环比赛，每场比赛胜队得3分，败队得0分，平局时两队各得1分，小组赛完以后，总积分最高的两个队出线进入下轮比赛，如果总积分相同，还要按净胜球排序，一个队要保证出线，这个队至少要积 （ ） A. 6分 B. 7分 C. 8分 D. 9分
2、甲、乙、丙三人比赛象棋，每局比赛后，若是和棋，则这两个人继续比赛，直到分出胜负，负者退下，由另一个与胜者比赛，比赛若干局后，甲胜4局，负2局；乙胜3局，负3局，如果丙负3局，那么丙胜 （ ） A. 0局 B. 1局 C. 2局 D. 3局
3、已知四边形ABCD从下列条件中①AB∥CD ②BC∥AD ③AB＝CD ④BC＝AD ⑤∠A＝∠C ⑥∠B＝∠D，任取其中两个，可以得出“四边形ABCD是平行四边形”这一结论的情况有 （ ） A. 4种 B. 9种 C. 13种 D. 15种
4、某校初三两个毕业班的学生和教师共100人，一起在台阶上拍毕业照留念，摄影师要将其排列成前多后少的梯形阵（排数≥3），且要求各行的人数必须是连续的自然数，这样才能使后一排的人均站在前一排两人间的空档处，那么满足上述要求的排法的方案有 （ ） A. 1种 B. 2种 C. 4种 D. 0种 5、正整数n小于100，并且满足等式?n???n???n??n，其中?x?表示不超过x的最
???????2??3??6?大整数，这样的正整数n有（ ）个 A. 2 B. 3 C. 12 D. 16
6、周末晚会上，师生共有20人参加跳舞，其中方老师和7个学生跳舞，张老师和8个学生跳舞……依次下去，一直到何老师，他和参加跳舞的所有学生跳过舞，这个晚会上参加跳舞的学生人数是 （ ） A. 15 B. 14 C. 13 D. 12 7、如图某三角形展览馆由25个正三角形展室组成，每两个相邻展室（指有公共边的小三角形）都有门相通，若某参观者不愿返回已参观过的展室（通过每个房间至少一次），那么他至多能参观（ ）个展室。 A. 23 B. 22 C. 21 D. 20
8、一副扑克牌有4种花色，每种花色有13张，从中任意抽牌，最小要抽（ ）张才能保证有4张牌是同一花色的。 A. 12 B. 13 C. 14 D. 15
二、填空题：
1、观察下列图形：
数学竞赛专项训练（9）－13
①
②
③
④
根据①②③的规律，图④中三角形个数＿＿＿＿＿＿
2、有两副扑克牌，每副牌的排列顺序是：第一张是大王，第二张是小王，然后是黑桃、红桃、方块、梅花四种花色排列，每种花花色的牌又按A，1，2，3，……J，Q，K的顺序排列，某人把按上述排列的两副扑克牌上下叠放在一起，然后从上到下把第一张丢掉，把第二张放在最底层，再把第三张丢掉，把第四张放在最底层，……如此下去，直到最后只剩下一张牌，则所剩的这张牌是＿＿＿＿＿＿
3、用0、1、2、3、4、5、6、7、8、9十个数字一共可组成＿＿＿＿＿个能被5整除的三位数
4、将7个小球分别放入3个盒子里，允许有的盒子空着不放，试问有＿＿＿＿种不同放法。
5、有1997个负号“－”排成一行，甲乙轮流改“－”为正号“＋”，每次只准画一个或相邻的两个“－”为“＋”，先画完“－”使对方无法再画为胜，现规定甲先画，则其必胜的策略是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
6、有100个人，其中至少有1人说假话，又知这100人里任意2人总有个说真话，则说真话的有＿＿＿＿＿人。
数学竞赛专项训练（9）－14
三、解答题
1、今有长度分别为1、2、3、……、9的线段各一条，可用多少种不同的方法从中选用若干条组成正方形？
2、某校派出学生204人上山植树15301株，其中最少一人植树50株，最多一人植树100株，证明至少有5人植树的株数相同。
3、袋中装有2002个弹子，张伟和王华轮流每次可取1，2或3个，规定谁能最后取完弹子谁就获胜，现由王华先取，问哪个获胜？他该怎样玩这场游戏？
4、有17个科学家，他们中的每一个都和其他的科学家通信，在他们的通信中仅仅讨论三个问题，每一对科学家互相通信时，仅仅讨论同一个问题。证明至少有三个科学家关于同一个题目互相通信
数学竞赛专项训练（7）逻辑推理参考答案
一、选择题
1、答B。解：4个队单循环比赛共比赛6场，每场比赛后两队得分之和或为2分（即打平），或为3分（有胜负），所以6场后各队的得分之和不超过18分，若一个队得7分，剩下的3个队得分之和不超过11分，不可能有两个队得分之和大于或等于7分，所以这个队必定出线，如果一个队得6分，则有可能还有两个队均得6分，而净胜球比该队多，该队仍不能出线。应选B。
2、答B。解有人胜一局，便有人负一局，已知总负局数为2+3+3＝8，而甲、乙胜局数为4+3＝7，故丙胜局数为8-7＝1，应选B。
3、答B。解：共有15种搭配。①和② ③和④ ⑤和⑥ ①和③ ②和④ ①和⑤ ①和⑥ ②和⑤ ②和⑥ 能得出四边形ABCD是平行四边形。
①和④ ②和③ ③和⑤ ③和⑥ ④和⑤ ④和⑥ 不能得出四边形ABCD是平行四边形。应选B。
4、答B。解：设最后一排k个人，共n排，各排人数为k，k+1，k+2……k+（n－1）。由题意nk?n(n?1)?100，即n[2k?(n?1)]?200，因k、n都是正整数，且n≥3，2所以n?2k?(n?1)，且n与2k?(n?1)的奇偶性相同，将200分解质因数可知n
数学竞赛专项训练（9）－15
历年初中数学竞赛试题精选
