初中数学竞赛专项训练
1、一个六位数，如果它的前三位数码与后三位数码完全相同，顺序也相同，由此六位数可以被（ ）整除。 A. 111
B. 1000
C. 1001
D. 1111
解：依题意设六位数为abcabc，则abcabc＝a×105＋b×104＋c×103＋a×102＋b×10＋c＝a×102（103＋1）＋b×10（103＋1）＋c（103＋1）＝（a×103＋b×10＋c）（103＋1）＝1001（a×103＋b×10＋c），而a×103＋b×10＋c是整数，所以能被1001整除。故选C 方法二：代入法
2、若S?1111????198019812001，则S的整数部分是____________________
解：因1981、1982……2001均大于1980，所以S?122?11980?1980?90，又1980、221981……2000均小于2001，所以S?122?12001?200121?90，从而知S的整数2222部分为90。
3、设有编号为1、2、3……100的100盏电灯，各有接线开关控制着，开始时，它们都是关闭状态，现有100个学生，第1个学生进来时，凡号码是1的倍数的开关拉了一下，接着第二个学生进来，由号码是2的倍数的开关拉一下，第n个（n≤100）学生进来，凡号码是n的倍数的开关拉一下，如此下去，最后一个学生进来，把编号能被100整除的电灯上的开关拉了一下，这样做过之后，请问哪些灯还亮着。
解：首先，电灯编号有几个正约数，它的开关就会被拉几次，由于一开始电灯是关的，
所以只有那些被拉过奇数次的灯才是亮的，因为只有平方数才有奇数个约数，所以那些编号为1、22、32、42、52、62、72、82、92、102共10盏灯是亮的。
数学竞赛专项训练（9）－1
4、某商店经销一批衬衣，进价为每件m元，零售价比进价高a%，后因市场的变化，该店把零售价调整为原来零售价的b%出售，那么调价后每件衬衣的零售价是 （ ） A. m(1+a%)(1-b%)元 B. m·a%(1-b%)元 C. m(1+a%)b%元 D. m(1+a%b%)元
解：根据题意，这批衬衣的零售价为每件m（1＋a%）元，因调整后的零售价为原零售价的b%，所以调价后每件衬衣的零售价为m（1＋a%）b%元。 应选C
5、如果a、b、c是非零实数，且a+b+c=0，那么a?b?c?abc的所有可能的
|a||b||c||abc|值为 A. 0 B. 1或-1 C. 2或-2
解：由已知，a，b，c为两正一负或两负一正。 ①当a，b，c为两正一负时：
D. 0或-2
（ ）
abcabcabcabc???1，??1所以????0； |a||b||c||abc||a||b||c||abc|②当a，b，c为两负一正时：
abcabcabcabc????1，?1所以????0 |a||b||c||abc||a||b||c||abc|由①②知应选A
6、在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若∠B＝60°，则值为 A. 1
2abcabc???所有可能的值为0。 |a||b||c||abc| B. D.
2 2
B c A b a
C ca的?a?bc?b（ ）
C. 1
2
解：过A点作AD⊥CD于D，在Rt△BDA中，则于∠B＝60°，所以DB＝
3CC。，AD＝22数学竞赛专项训练（9）－2
在Rt△ADC中，DC2＝AC2－AD2，所以有（a－
C2232
）＝b－C，整理得a2＋c2=b224cac2?cb?a2?aba2?c2?ab?bc????1 ＋ac，从而有
a?bc?b(a?b)(c?b)ac?ab?bc?b2 应选C
7、设a＜b＜0，a2+b2=4ab，则 A.
a?b的值为 a?bC. 2
D. 3
（ ）
3
B.
6
解：因为(a+b)2=6ab，(a-b)2=2ab，由于a a?b?3。 a?b 应选A 8.已知a＝1999x＋2000，b＝1999x＋2001，c＝1999x＋2002，则多项式a2+b2+c2-ab-bc-ca的值为 （ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 1解：?a2?b2?c2?ab?bc?ca?[(a?b)2?(b?c)2?(c?a)2]，2 又a?b??1，b?c??1，c?a?2 1 ?原式?[(?1)2?(?1)2?22]?32 a2b2c29、已知abc≠0，且a+b+c＝0，则代数式的值是 ??bccaab A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 （ ） 解：原式??(b?c)?a?(a?c)?b?(a?b)?c??bcacabaabbcc ??(?)?(?)?(?) bcacababc ????3abc 10、某商品的标价比成本高p%，当该商品降价出售时，为了不亏损成本，售价的折扣（即 数学竞赛专项训练（9）－3 降价的百分数）不得超过d%，则d可用p表示为＿＿＿＿＿ 解：设该商品的成本为a，则有a(1+p%)(1-d%)=a，解得d? 11、已知实数z、y、z满足x+y=5及z2=xy+y-9，则x+2y+3z=_______________ 解：由已知条件知（x+1）＋y=6，(x＋1)·y=z2＋9，所以x＋1，y是t2－6t＋z2＋9=0的两个实根，方程有实数解，则△＝（－6）2－4（z2＋9）＝－4z2≥0，从而知z=0，解方程得x+1=3，y=3。所以x+2y+3z＝8 12.气象爱好者孔宗明同学在x（x为正整数）天中观察到：①有7个是雨天；②有5个下午是晴天；③有6个上午是晴天；④当下午下雨时上午是晴天。则x等于（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 选C。设全天下雨a天，上午晴下午雨b天，上午雨下午晴c天，全天晴d天。由题可得关系式a=0①，b+d=6②，c+d=5③，a+b+c=7④，②＋③－④得2d-a=4，即d＝2，故b=4，c=3，于x＝a+b+c+d=9。 13、有编号为①、②、③、④的四条赛艇，其速度依次为每小时v1、v2、v3、v4千米，且满足v1＞v2＞v3＞v4＞0，其中，v水为河流的水流速度（千米/小时），它们在河流中进行追逐赛规则如下：（1）四条艇在同一起跑线上，同时出发，①、②、③是逆流而上，④号艇顺流而下。（2）经过1小时，①、②、③同时掉头，追赶④号艇，谁先追上④号艇谁为冠军，问冠军为几号？ 解：出发1小时后，①、②、③号艇与④号艇的距离分别为 100p 100?p）?（v水 ?v4)]?1?vi?v4 Si?[(vi?v水 各艇追上④号艇的时间为 ti?vi?v4v?v42v4 ?i?1?(vi?v水 )?(v水 ?v4)vi?v4vi?v4 对v1＞v2＞v3＞v4有t1?t2?t3，即①号艇追上④号艇用的时间最小，①号是冠 军。 数学竞赛专项训练（9）－4 14.有一水池，池底有泉水不断涌出，要将满池的水抽干，用12台水泵需5小时，用10台水泵需7小时，若要在2小时内抽干，至少需水泵几台？ 解：设开始抽水时满池水的量为x，泉水每小时涌出的水量为y，水泵每小时抽水量为z， 2小时抽干满池水需n台水泵，则 ?x?5y?5?12z ①? ?x?7y?7?10z ② ?x?2y?2nz ③? 由①②得? ∴n?22?x＝35z，代入③得：35z?10z?2nz ?y?5z1，故n的最小整数值为23。 2答：要在2小时内抽干满池水，至少需要水泵23台 15.某宾馆一层客房比二层客房少5间，某旅游团48人，若全安排在第一层，每间4人，房间不够，每间5人，则有房间住不满；若全安排在第二层，每3人，房间不够，每间住4人，则有房间住不满，该宾馆一层有客房多少间？ 解：设第一层有客房x间，则第二层有(x?5)间，由题可得 ?4x?48?5x ① ? 3(x?5)?48?4(x?5) ②? 由①得：??4x?483，即9?x?12 5?48?5x?3(x?5)?48 由②得：?，即7?x?11 48?4(x?5)? ∴原不等式组的解集为93?x?11 5 ∴整数x的值为x?10。 答：一层有客房10间。 16、某生产小组开展劳动竞赛后，每人一天多做10个零件，这样8个人一天做的零件超过200个，后来改进技术，每人一天又多做27个零件，这样他们4个人一天所做零件就 数学竞赛专项训练（9）－5
历年初中数学竞赛试题精选
