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?APB面积︰?AQB面积＝PM︰QM
P P P A B M Q B P
Q A A A B
M
Q B M
Q M 共边定理图：四种位置关系
1如图，△ABC 中，D、E分别是AB、AC边上的中点，用面积方法证明：DE∥BC且DE＝证明：∵D、E分别是AB、AC边上的中点， ∴△ADE﹕△BDE＝△ADE﹕△CDE＝1﹕1 ∴△BDE＝△CDE ∴ DE∥BC
∴∠DBC＝∠ADE 由共角定理得：△ADE/△ABC＝AD·DE/AB·BC＝1/4 ∵AD＝
1BC． 211AB ∴DE＝BC． 22这里，证明平行用到了平行的基本命题，证明线段的比值用到了共角定理．
传统证法中，要用到全等三角形、平行四边形或相似三角形，同时要作辅助线构成全等、相似、或平行四边形．
例2：(1983年美国中学数学竞赛题) 如图的三角形ABC的面积为10，
D、E、F分别在边BC、CA、AB上，且BD＝2，DC＝3，若△BCE与四边形DCEF的面积相等，则这个面积是（ ） A．４
C．５
D．６
A 510B．
3Ｅ．不确定
E F C 解：由△BCE与四边形DCEF的面积相等，在四边形BCEF中分别减去这两个
B 面积，得△BFD与△BFE同底且面积相等，所以BF∥DE，可以得到AB为边的两个三角形△ABD与△ABE面积相等，因为三角形ABC的面积为10，且BD＝2，DC＝3，所以△ABD的面积等于4，即△ABE面积等于4，所以△BCE的面积等于10－4＝6，故选C．
这是一道由面积相等推知两线平行的典型题目． 例3：对角线互相平分的四边形是平行四边形． 证明：∵OA＝OC，OB＝OD，由共角定理得：△AOB/△COD＝OA·OB＝OC·OD＝1
即△AOB＝△COD，∴共底的两个三角形△ACB＝△CBD，∴AD∥BC； 同理可证AB∥CD
D
A O C D
B 精品
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问：共边定理怎么证线段相等？
答：常常是共边与共角两个定理都会用到。利用面积相等，并且面积比中有相等的线段，消去等量，于是剩下的也是等量之比。
例4：(等腰三角形两腰上的高相等)已知：如图，AB＝AC，CE⊥AB于E，BD⊥AC于D， 求证：BD＝CE．
E B D C A
11解：由三角形面积定理得：S△ABC＝AB·CE＝AC·BD
22∵AB＝AC，∴BD＝CE ；
本题是直接用等底三角形面积相等推出高相等，相比于全等三角形证法要简洁得多。
例5：如图，已知AD平分∠BAC，BD⊥AD，DE∥AC，DE交AB于F点 求证：BE＝EC．
证明：连接C、F，由平行线性质，得△DFC＝△DFA； 由AD平分∠BAC，DF∥AC，可得∠FAD＝∠FDA，∴AF＝FD
B
A F 由BD⊥AD，得∠FBD＝∠FDB，∴BF＝DF；∴AF＝BF
∴△DFB＝△DFA；△DFC＝△DFB；∴BE︰EC＝△DFC︰△DFB＝1︰1，即BE＝EC． 本题是用共边三角形面积相等推出线段相等。
例6：如图，△ABC中，AB＝AC，BD＝CE，
求证：DF＝EF.
证明：连接CD、BE，∵AB＝AC ∴∠DBC与∠BCE互补，由共角三角形定理：
△DBC︰△BCE＝BD·BC︰CE·BC ∵AB＝AC，BD＝CE，得△DBC＝△BCE，
D 再由共边定理得：△DBC︰△BCE＝DF︰FE＝1︰1 ∴DF＝EF.
B 本题先用共角三角形定理证得△DBC与△BCE面积相等，再由共边定 理推出线段相等。相比于先作平行线构造全等三角形，再由全等三角形证线段相等的证法，面积法显然更巧妙。
例7：在等腰直角三角形ABC的斜边BC上取一点D，使DC?作BE?AD交AC于E，求证：AE?EC．
E D
C
A F C E 1BC，31BC，得图中两个阴影三角形的面积之比为1︰2，即：△AFC︰3△AFB＝1︰2，又由BE?AD，等腰直角三角形ABC的条件，得
证明：连结CF，由DC?精品
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C
D ∠1＋∠2＝∠3＋∠2＝90°，∴∠1＝∠3，由共角定理得：AF·AC︰AB·BF＝
△AFC︰△AFB＝1︰2 E ∴AF︰BF＝1︰2，由△AFB与△AEB相似，得AE︰AB＝1︰2，∵AB＝AC ∴AEF 1 ＝EC
2 本题先用CD︰DB＝1︰2得到两个阴影三角形的面积之比为1︰2，再由共A 角三角形定理证得AF︰BF＝1︰2，过程相当简洁明了。
问：共边定理怎么证比例线段？
答：共边定理最适合用来求同一直线上的两条线段的比值，或反过来，已知同一直线上的两条线段的比值求共边三角形的面积比。由于共边定理有四种位置图形却对应同一个比值，所以怎样选取最合适的两个三角形就成为正确解题的关键。也因为图形选择的差异，造成了不止一种解法。只有通过一定的练习量，才能做到迅速正确地选择适当的共边三角形。 例1：已知在△ABC中，D为BC的中点，E为AD的中点，BE的连线交AC于F．
3 B 1求证：AF＝AC．
3
B A F E C 例1图 D 解答：构造以BF为公共边的两个三角形△ABF和△DBF，则由两个中点的条件，得三个三角形△ABF和△DBF、△DCF面积都相等，由图易得
例2：△ABC中，D是BC上的一点，
AF?ABF11＝＝，所以AF＝AC． FC?CBF23BDAE1=2，E为AD上一点，=，求DCED4A F 例2题图1 AFBE， FCEFAF?ABE解答：①构造以BE为公共边的两个三角形△ABE和△CBE，则＝，B FC?CBEAF1由图易得＝．
FC6②构造以AD为公共边的两个三角形△BAD和△FAD，则
1 E 4 2 D C A BE?BAD＝．由F EF?FADE 1 AF1BD＝，设△FAD＝1,则△FDC＝6，∴△ADC＝7；由=2，得△BADFC6DC14 BE?BAD14＝14, ∴ ＝＝．
B EF1?FAD例2题图2 6 D C 精品
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例3：(三角形角平分线性质定理) 如图，AD平分∠BAC， 求证：
证明：AD平分∠BAC，由共角三角形定理： △ADB︰△ADC＝AB·AD︰AC·AD＝AB︰AC 又∵△ADB︰△ADC＝BD︰CD ∴AB︰AC＝BD︰DC．
问：全等和相似方法在新概念几何中应当保留吗？
在新概念几何中，可以由面积法先推导出正弦定理和余弦定理，再推出全等三角形判定定理和相似三角形判定定理，实际上，新教材中可以完全不用全等和相似方法．但作为欧式几何的宝贵遗产，在许多问题中它们有明显的优势，为了让两种教材更好地兼容，各取所长，减少新几何推广的阻力，张景中也是主张保留全等和相似方法的． 例如下面这道题目，三种解法就各有利弊．
1在△ABC内任取一点P，连接PA、PB、PC分别交对边于X、Y、Z点．
E B C B D C A A PXPYPZ求证：＋＋＝1
AXYBZC证明：这是一道用共边定理证明的典型好题，在传统证法难以入手的题中，正好是共边定理F D A 一个极其简单的直接应用，只要用P点与各边分成的每一个小三角形与大三角形相比再相加，立即得到结论！
Z B P P X Y Y C PXPYPZ?PBC?PCA?PAB＋＋＝＋＋＝1 AXYBZC?ABC?ABC?ABC
例(梅涅劳斯定理)：在△ABC的两边取X、Y，直线XY与BC的延长线交于Z点．
AXBZCY··＝1 XBZCYAAXBZCYΔAXZΔBXZΔCXZ证明：··＝··＝1．也是一步！ XBZCYAΔBXZΔCXZΔAXZ求证：
B A X Y C Z 精品
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2著名数学大师华罗庚在《1978 年全国中学生数学竞赛题解》前言中，给出了这样的一道几何题：如图，凸四边形ABCD 的两边DA、CB 延长后交于K，另外两边AB、DC延长后交于L，对角线DB、AC 延长后分别与KL 交于F、G． D KFKG =FLGLKF?DBK证明：＝(以BD为公共边的两个三角形的面积比)
FL?DBL?DBK?KBL＝(乘以同一个三角形KBL，化为两组面积×?KBL?DBLK 的比)
DCKA＝(化为两组线段的比) ×CLAD?DAC?KAC＝(化为有同一个三角形DAC的两组面积的比) ×?LAC?DAC?KACKG＝＝(消去公共三角形，化为线段的比) ?LACGL求证：
A M B F L G C 这道题的的难点在于没有全等，没有相似，也没有给定的比值，按照传统方法步．骤相当多，也不易理解，所以20多年没有人给出简单巧妙的解．在熟悉了共边定理以后，这一类题真的变简单了
问：怎样用面积法证面积题？
答：已知比例求面积的题目，传统证法往往不易找到思路，所以成了难题，往往在中小学数学竞赛中出现．其实，这类题使用共边定理是最好的方法． 4：如图，四边形ABCD中，△AOD面积＝2，△DOC面积＝3 △COB面积＝6，求△AOB面积．
A 2
D 3 C 解法1：
？
∵△AOD面积︰△DOC面积＝2︰3＝AO︰OC＝△AOB面积 ︰△COB面积，O 6 ∵△COB面积＝6 ∴△AOB面积＝4
B 解法2：
第7题图
∵△AOD面积︰△DOC面积＝AO︰OC＝△AOB面积 ︰△COB面积， ∴△AOB面积×△DOC面积＝△COB面积×△AOD面积 这里得到一个新的定理：四边形对角线分成的四个三角形中，相对的两个三角形面积的乘积
与另一组相对的两个三角形面积的乘积相等．用上这个定理，就可以跳过共边定理直接用最后一步解题了．
∴△AOB面积＝2×6÷3＝4．
5（17届希望杯全国赛初二第二试19题）：
如图，等腰△ABC中，AB＝AC，P点在BC边上的高AD上，且
AP1=，BPPD2A E P 的延长线交AC于E，若S?ABC＝10，则S?ABE＝______；S?DEC＝_______；AE
精品
B
D C
共边定理典型题解析
