1、集合的概念：某些研究对象的全体叫集合，用大写字母表示；集合中的每个对象叫做这个集合的元 素，用小写字母表示；
2、集合的表示方法有： （ 1）列举法（把集合的所有元素一一列举并写在大括号内） （ 2）描述法（把集合中元素的公共属性描述出来写在大括号内） 3、集合中元素的特征有无序性、互异性、确定性； 4、元素与集合的关系有：属于（ 5、集合分类：
；
；
）和不属于（
）；
（ 1）把不含任何元素的集合叫做空集（ （ 3）含有无穷个元素的集合叫做无限集； 6、常用数集及其记法： （ 1）自然数集
）； （ 2）含有有限个元素的集合叫做有限集；
0,1,2,3,
：记作N；
（ 2）正整数集
1,2,3, ：记作N或N ；
Q ；
（ 3）整数集
3, 2, 1,0,1,2,3, ：记作 Z ；（4）有理数（包括整数和分数）集：记作
（ 5）实数（包括有理数和无理数）集：记作 7、集合与集合的关系有：子集（包含于， 8、子集的概念：如果集合
；
R ；
）、真子集（真包含于，
? ）、相等（ =）；
A 中的每一个元素都是集合 B 中的元素，那么集合 A 叫做集合 B 的子集，
记作 A
B
9、真子集的概念：若集合
A 是集合 B 的子集，且 B 中至少有一个元素不属于 A,那么集合 A 叫做集合
B 的真子集，记作
AB ；（真子集是除本身以外的子集）
10、子集、真子集的性质： （1）传递性：若
A B， B C ，则 A C ；
（ 2）空集是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集；
（ 3）任何一个集合是它本身的子集； （在写子集时首先注意两个特殊的子集---- 空集和它本身） 11、集合相等：
（ 1）若集合 A 中的元素与集合 B 中的元素完全相同，则称集合
A 等于集合 B,记作 A
B ；
1
（2）
A
B, B A A
B
（即互为子集）。
12、 n ( n N ) 个元素的集合其子集个数共有
n
2n 个；真子集有 2n
1个（比子集少了它本身） ；
非空子集有 2
1个；非空的真子集有 2n 2 个；
13、集合的运算：
（1）交集（公共元素） （2）并集（所有元素）
：A∩ B＝{x|x∈ A 且 x∈ B}； ：A∪ B＝{x|x∈ A 或 x∈ B}；
：（3）补集（剩余元素） 14、集合运算中常用的结论 ①
；②
:
CU A
＝{x| x
A 且 x∈ U} ，U 为全集。
ABABAA
A；④A
BABB
；
③AAA；AA
; A
A
。
注意：集合问题的处理要养成画数轴的好习惯， 15、函数的概念：设
在用区间表示结果时要注意小括号和中括号的合理使用.
A、B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系
f ，使对于集合 A 中的任意 f ： A →B 为从集合 A 到集合 B
一个数 x ，在集合 B 中都有唯一确定的数 f (x) 和它对应，那么就称
的一个函数。记作：
y
f ( x), x A 。其中： x 叫做自变量， x 的取值范围 A 叫做函数的定义域；
与 x 的值相对应的
y 值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。
注意；我们现在用符号 y
f ( x) 来表示函数，其中 f (x) 表示与 x 对应的函数值，而不是
1
f ( x) 0 ；（ 2）二次根式
f 乘 x 。
16 、求函数定义域的方法： （ 1）分式
中分母
f (x) 中被开方式
f ( x)
0且 f ( x) 1 ，真数
f (x) 0；（ 3）对数式 log f ( x) g( x) 中底数 f ( x) g( x)
特殊运算时取其公共部分（交集） ；（5）函数的任何问题的处理都要注意定义域优先原则。 17、求函数解析式的常用方法： （ 1）待定系数法（针对格式化定义的函数） （ 2）换元法（针对复合型函数） ；（ 3）配方法（针对二次型函数） 。 18、区间的概念：
（设 a, b 是两个实数且 a
0 ；（ 4）有几个
---- 设、代、解、代；
b ） （ 1）闭区间： x a x b a,b ；（2）开
2
区 间 ：
x a b
x b a,b
a, b ；（ 3 ） 半 开 半 闭 区 间 ： x a x b
；（ 4）实数集 R 可以用区间 (,
a, b ；
x a x ) 表示。
19、同一函数：如果两个函数的定义域值域和对应关系完全相同，即称这两个函数相等（或者说是同一 函数）。
20、函数的三种表示法是：解析法；图象法；列表法。
21、分段函数：按自变量
x 取值的不同情况将函数的对应关系（或者是解析式）用不同的式子分段表
示的函数，处理的方法是分段处理；复合函数的处理方法是从里向外层层剥离。 22、函数的单调性：（1）增函数定义： 若 x1
x2 D ，有 f (x1) f (x2 ) ；增函数图象上升 （同增）。
（ 2）减函数定义：若
x1 x2 D ，有 f ( x1 ) f (x2 ) ；减函数图象下降（异减） 。
f(x) 在给定的区间 D 上的单调性的一般步骤：
（ 3）用定义法证明（或判断）函数
○取值： 任取两个 x ，x ∈ D ，且 x
1 ○3
1 2
1 2 2 作差： f(x1 )－ f(x2)； 变形：（通常是因式分解、配方和通分等） ； ○ 4 判号： （即判断差 f(x 1)－ f(x )的正负）； 2 ○5 下结论：（即指出函数 f(x) 在区间 D 上的单调性）． 23、函数最大（小）值： （ 1）定义：设函数 y y f (x) 满足 f ( x) M ，则M 是函数 y f ( x) 满足 f ( x) M，则M是函数 y f ( x) 的最大值，记作 ymax f ( x) 的最小值，记作 ymin M ； M ； 设函数 （ 2）求法：①利用函数的单调性求解；②通过换元、配方、反解等求函数的值域；③利用不等式性质 求；④二次函数利用性质求等。 24、函数的奇偶性： （ 1）奇函数：对于函数 f ( x) 的定义域内任意一个 x ，都有 f ( x) f ( x) 的定义域内任意一个 x ，都有 f ( x) f ( x) 。图象关于原点对称。 （ 2）偶函数：对于函数 f (x) 。图象关于 Y 轴对称。 （ 3）奇（偶）函数的定义域的要求是定义域要关于原点对称，否则就是非奇非偶函数； （ 4）奇函数在原点两侧的单调性一致且在 x 0 处有定义时必有 f (0) 0 ； 3 （ 5）偶函数在原点两侧的单调性相反且有 25、初中学过的二次函数的知识归纳： 二次函数：①解析式 数；③单调性与 f ( x) f ( x ) 成立。 y ax2 bx c(a 0) ；②在 b 0 时是偶函数，在 b 0 0 时是左增右减。 x 时是非奇非偶函 a 和对称轴有关：在 a 0 时是左减右增， a ④其它性质： （ 1）二次函数 y ax2 bx c 的图象的对称轴方程是 b 2a ，顶点坐标是 b 4ac b 2 ， 2a 4a 。 （ 2）用待定系数法求二次函数的解析式时， 解析式的设法有三种形式： 一般式： f (x) ax2 bx c ， 零点式： f ( x) a(x x1) ( x x2 ) ，顶点式： f ( x) a( x h)2 k ，顶点坐标是 ( h, k) 。 （ 3）二次函数 y ax2 bx c 图象： 0 时，图象与 ①当 b2 4ac X 轴有 2 个交点；若 ax2 bx c 0 有两根 x1 , x2 ，则 x1 x2 b ; x1 x2 c 。 ② 当 a a b2 4ac 0时，图象与 X 轴 只 有 1 个交点。③当 b2 4ac 0 时，图象与 26、指数运算与指数函数： X 轴没有交点。 m mn n ①指数的性质与运算法则： n a m a n am n ； a an am n ； a m n a ； ab m a b ； nn a b n an ； a0 1(a 0) a n bn a,( n是奇数时） ； a ,( n是偶数时） 1 an nm ； ② 根 式 的 性 质 ： a a n ； ( n a ) n a ； a n ②指数函数的定义：函数 y ax (a 0,a 1)叫做指数函数。 a 1 0 a 1 4 ③指数函数的图象和性质：
高一数学必修1知识点归纳
