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物理竞赛练习(一)
1.如图所示，一盛水的容器沿倾斜角为θ的固定斜面向下滑动，从靠近容器底部的细管A的管口向外喷出水，水的速度为v0，细管的内横截面积为S，已知水和容器的总质量为M，设容器内水的质量可视为不变，水的密度为ρ，当容器下滑时，水面与斜面平行，试求容器底部与斜面间的滑动摩擦系数。
2.如图所示，水平弹簧一端固定，另一端系一质量为m的小球，弹簧的劲度系数为了k，小球与水平面的摩擦系数为μ，当弹簧为原长时小球位于O点，开始时小球位于O点右方的A点，O与A之间的距离为L0，从静止释放小球。(1)为使小球能通过O点，
m
A??B
l1Ol0A而且只能通过O点一次，试问μ值应在什么范围？(2)在上述条件下，小球在O点左方的停住点B点与O点的最大距离是多少？
1
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3. 用粒子轰击原子可以使其从基态跃迁到激发态。设原子基态和激发态的能量差为ΔE，现分别用电子和质子轰击质量为M的静止原子，试问欲使上述跃迁发生，所需的最小动能是否相等？对你的回答给出相应的分析和计算。
4．如图所示，A为圆筒形容器，B为活塞，B的两边充有理想气体，B与圆筒无摩擦，不漏气。L为固定在活塞上的细长直杆，细杆与圆筒间无摩擦且密封很好，不漏气。L为跨过无摩擦的定滑轮并与悬盘相连的轻绳，二悬盘的质量相等，整个系统放在恒温室中。
lL1B2ALl当温度为T=300K，左盘上放置砝码m1=1.2kg，且活塞平衡时，两部分气体体积相等，即V1：V2=1：1。
当温度为T=400K，右盘上放置砝码m2=0.5kg，且活塞平衡时，两部分气体的体积比为Vˊ1:Vˊ2=4:1。
现在欲使活塞不因温度的变化而左右移动，问：1．应如何在盘内放置砝码？2．此时左右两部分的体积比是多少？
2
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5．有两根光滑的绝缘杆，可在同一竖直平面内绕O点转动。两杆上各穿着一个质量为m、电量为q的小球。两杆与水平面夹角都等于θ时，两球在同一水平面上处于静止状态，如图所示。现使两杆同时绕O点缓慢转动，此时小球在杆上的位置随之改变。问θ取何值时，小球到O点的距离L为最小值？
6．绝缘光滑水平面上固定一个正点电荷+Q，另一个质量为m、带电量为-q的质点在水平面上绕+Q做椭圆运动，运动过程中-q在水平方向上只受+Q的库仑引力作用。已知在-q的运动中距+Q的最近距离为a，最远距离为最近距离的n倍。问：-q到达离+Q最近距离处速率ν1多大？到达离+Q最远距离处速率ν2多大？当-q到达离+Q最远处时，欲要-q变为绕+Q做匀速圆周运动，需要向-q提供多少能量？
3
m?qNm?qL?O?mgF?
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物理竞赛练习(一)答案
1.解：由水的状态可知，水在沿斜面方向受力为零，也就是说杯子沿斜面的加速度应为
gsin?。那么杯向外喷水，水给杯的作用力应等于杯变到斜面给它的摩擦力现在，以水为研
究对象，杯给水的作用力为N。 ?N??mgsin????m?0
N??mgsin???m?0?t
N??m?0??mgsin??t
2N??S???mgsin? ?m??S??t?t0?在内喷出水的质量
?t?0 ?mgsin??0
???2?Mgcos??f?N??S?M0gcos? 00 对杯子，
2.分析：(1)小球开始时在A点静止，初始动能为零；弹簧拉长l0，具
?S?02y12kl0有初始弹性势能2。释放后，小球在弹性力作用下向左运动，克服摩
擦力作功，总机械能减小。为使小球能通过O点，要求初始弹性势能应大于克服摩擦力作的功?mgl0,于是可得出μ值的上限。
?1?2?图17-49
当小球越过O点向左运动，又从左方最远点B往回（即向右）运动时，为使小球不再越
12kl02过O点，要求初始弹性势能小于克服摩擦力作的功?mg(l0?2l1)，其中l1是B点与O点
距离，于是可得出μ值的下限。
(2)设B点为小球向左运动的最远点，且小球在B点能够停住，则小球克服摩擦力作的功应等于弹性势能的减少。此外，小球在B点所受静摩擦力必须小于最大静摩擦力，由此可得出停住点B点与O点的最大距离。
解：(1)小球向左运动时受摩擦力?mg，其方向与运动方向相反，故摩擦力作负功。本
题要求小球的停住点在O点或在O点左方，则必须满足如下条件，
4
?mgl0?kl0212??即
kl02mg
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上式决定了μ值的上限，当
?上kl0?2mg时，小球正好在O点停住。当???上时，小球将
通过O点，并继续向左方运动。在向左方运动的过程中，可能停于某点，也可能在到达左方最远点B点后，再往回（即向右）运动的过程中停于某点。
12kl0??mg(l0?2l1)2本题要求最后的停住点不能越过O点，即必须满足条件（1）
式中l1是向左运动的最远点B点与O点的距离。因小球在B点的速度为零，故有
?mg(l0?l1)?k(l02?l12)l1?l0?2?mgk
12 即
?mg?1k(l0?l1)2 （2）
解出
224?mg?12?4mg1?mg?3l0???kl0?2?3mgl0??kl02?0k?2 或 k?2代入（1）式，得
4m2g2212y???3mgl0??kl0k2 令
作y??曲线如图17-49所示，图中μ1和μ2是二次方程y=0的两个根，分别等于
?1?kl0kl?2?04mg 2mg
因要求y<0，如图1-43，μ的取值范围应为 ?1????2
其中μ2即为前已求出的μ的上限?上(?2??上)。总之，所求μ值范围为
kl0kl???02mg 4mg(2)要求小球在左方最远点B点停住，除需满足上述（2）式外，小球在B点所受弹性力不得超过最大静摩擦力，即 kl1??mg（3）
联合（2），（3）式，得
l1?l03
即若小球从A点静止释放后，只能通过O点一次，且在到达左方最远点B点能停住，则停住点B点与O点的距离不会超过l0/3。 3.解：设m为入射粒子的质量，?i和
?f分别为入射粒子与原子碰前和碰后的速度，?M5
物理竞赛练习(一)
