mse1=mes1/N mse2=mes2/N mse3=mes3/N
以上程序保存为ex21.m，命令窗口中键入ex21，运算结果为
mse1 = 58.1581 mse2 = 7.8351e-005 mse3 = 9.4469e-006
可见第一个虽为无偏估计量，但MSE极大，表现很差。第二个虽为有偏估计，但表现与第三个相差不多，也是较好的估计量。另外，重复运行ex21，每次的结果是不同的，但优劣表现几乎是一致的。
例2.2 设X1,X2,?,X50为来自[0,?]上服从均匀分布的总体的简单随机样本，容易
??2X，最大似然估计量???max(X,X,?,X)，试用随得到未知参数的矩估计量?121250机模拟的方法比较两者的优劣。
解 不妨设??5，以下程序给出了两者的评价。
s=5; N=10000;
mse1=0; mse2=0; for k=1:N
x=5.*rand(1,50); s1=2*mean(x); s2=max(x);
mse1=mse1+(s1-s)^2; mse2=mse2+(s2-s)^2; end
mse1=mse1/N; mse2=mse2/N; [mse1,mse2]
参考运行结果： 0.1655 0.0186
本例中，最大似然估计精度较高。注意矩法估计量是无偏估计，本例中最大似然估计量显然是有偏估计，且一定是偏小的。 （2）有效性
设?1??1(x1,x,2,?,xn)和?2??2(x1,x,2,?,xn)是未知参数?的两个无偏估计
????量。若D(?1)?D?2，则称?1比?2有效。
例7．2：设x1,x,2,?,xn是总体的一个样本，试证下列式子并比较有效性。
????131x1?x2?x3; 5102?115（2）?2?x1?x2?x3;
3412?131（3）?3?x1?x2?x3.
3412（1）?1??
（3）一致性（相合性）
设?n是?的一串估计量，如果对于任意的正数?，都有
n????limP(|?n??|??)?0,
?则称?n为?的一致估计量（或相合估计量）。
3、 区间估计
?,??)能够所谓区间估计，就是用两个估计量??1与??2估计未知参数?，使得随机区间(?12包含未知参数的概率为指定的1??。即：
??????)?1?? P?(?12?,??)为?的置信区间，称1??为置信水平。??称为置信下 称满足上述条件的区间(?121限，??2称为置信上限。
3.1 单正态总体均值的置信区间
（1）方差?22??0已知情形
查表求u?满足：对于?~N(0,1)，P(??u?)?22?2。(上分位数 )
2对于总体N(?,?0)中的样本X1,X2,?,Xn，?的置信区间为：
(X??0nu?,2X??0nu?) （2-4）
2其中u?可以用norminv(1-a /2)计算。
2例2.3 设
1.1, 2.2, 3,3, 4.4, 5.5
为来自正态总体N(?,2.3)的简单随机样本，求?的置信水平为95%的置信区间。
解 以下用Matlab命令计算：
x=[1.1,2.2,3.3,4.4,5.5]; n=length(x); m=mean(x); c=2.3/sqrt(n); d=c*norminv(0.975); a=m-d; b=m+d; [a,b]
计算结果为 1.2840 5.3160 （2）方差?未知情形
对于总体N(?,?)中的样本X1,X2,?,Xn，?的置信区间为：
222(X?St?,n2X?St?) （2-4） n2其中t?为自由度n?1的t分布临界值。
2数据同上，继续利用Matlab计算
S=std(x); dd=S*tinv(0.975,4)/sqrt(n); aa=m-dd; bb=m+dd; [aa,bb]
结果为 1.1404 5.4596
3.2 单正态总体方差的置信区间
由于W?1?2?(Xi?1ni?X)2~?2(n?1)，查表求临界值c1与c2，使得
P(c1?W?c2)?1??
则?的置信区间为
2(1?(n?1)S2,c221?(n?1)S2) （2-5） c1其中查表可用chi2inv进行。数据同上，以下求?的置信区间。
c1=chi2inv(0.025,4); c2=chi2inv(0.975,4);
T=(n-1)*var(x); aaa=T/c2; bbb=T/c1; [aaa,bbb]
计算结果为 1.0859 24.9784
3.3 两正态总体均值差的置信区间
（1）方差已知情形
22设X1,X2,?,Xm~N(?1,?1)，Y1,Y2,?,Yn~N(?2,?2)，两样本独立，此时
?1??2的置信区间为
2222??????1212?X?Y?u? （2-6） ?,X?Y?u????mnmn?22??这里我们已经知道u?可用norminv(0.975)求得，Matlab计算很容易。
2（2）方差未知但相等：?1??2?? 此时?1??2的置信区间为
222???X?Y?t??C,X?Y?t?C? （2-7） ??22??其中C?211(m?1)S12?(n?1)S2，而t?依照自由度m?n?2计算。 ?mnm?n?223.4 两正态总体方差比的置信区间
此时，查自由度为(m?1,n?1)的F分布临界值表，使得
P(c1?F?c2)?1??
则?1/?2的置信区间为：
22?S12/S2S12/S2??c2,c1?22??? （2-7） ?例2.4 设两台车床加工同一零件，各加工8件，长度的误差为： A：-0.12 -0.80 -0.05 -0.04 -0.01 0.05 0.07 0.21 B：-1.50 -0.80 -0.40 -0.10 0.20 0.61 0.82 1.24 求方差比的置信区间。
解 用Matlab计算如下：
x=[-0.12,-0.80,-0.05,-0.04,-0.01,0.05,0.07,0.21]; y=[-1.50,-0.80,-0.40,-0.10,0.20,0.61, 0.82,1.24];
v1=var(x); v2=var(y);
c1=finv(0.025,7,7); c2=finv(0.975,7,7); a=(v1/v2)/c2; b=(v1/v2)/c1; [a,b] 计算结果为： 0.0229 0.5720
方差比小于1的概率至少达到了95%，说明车床A的精度明显高。
三 假设检验（换令一个讲）
3.1 假设检验的基本概念
例3.1 已知小麦亩产服从正态分布，传统小麦品种平均亩产800斤，现有新品种产量未知，试种10块，每块一亩，产量为：
775,816,834,836,858,863,873,877,885,901
问：新产品亩产是否超过了800斤？
假设检验就是概率意义上的反证法。要证明命题H1：??800，可以首先假设H0：
??800。本体中容易计算样本均值超过800了，有没有可能超过800的原因是由于抽样的
随机性引起的？是否总体均值根本没有变化？我们看如下的统计量：
T?X?800S/n
容易看出，如果新品种确有增产效应，T应偏大，不利于H0，取??0.05，查表求临界值
t?，使得P(T?t?)??，即构造不利于H0，有利于H1的小概率事件，如果在一次试验中
该小概率事件发生了，就有理由拒绝H0，认为H1成立。
严格逻辑意义上的反证法思路如下：欲证H1成立，先假设其否命题H0成立，然后找出逻辑意义上的矛盾，从而推翻H0成立，严格证明H1成立。假设检验的思路类似，只不过引出的不是矛盾，而是小概率事件在一次实验中发生。
我们称想要证明的命题H1为备择假设，对立的命题H0称为原假设，面对样本，我们必须表态是接受原假设还是拒绝原假设，这有可能出现两类错误。如果客观上原假设的确成立，面对样本的异常我们拒绝了原假设，这种“以真为假”的错误我们称为第一类错误，发
数理统计--参数估计、假设检验、方差分析(李志强) (3)
