专题达标检测
一、选择题
1．从2 011名学生中选出50名学生组成参观团，若采用下面的方法选取：现用简单随 机抽样从2 011人中剔除11人，剩下的2 000人再按系统抽样的方法抽取50人，则 在2 011人中，每人入选的概率 ( ) 150
A．都相等，且为 B．都相等，且为
402 011C．均不相等 D．不全相等 解析：每人入选的概率相等． 2 0005050
概率为×＝，故选B.
2 0112 0002 011答案：B
2．(2009·山东理)某工厂对一批产品进行了抽样检测，右图是根据抽样检测后的产品净重
(单位：克)数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96,106]，样本数据 分组为[96,98)，[98,100)，[100,102)，[102,104)，[104,106]．已知样本中产品净重小 于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数
是
( )
A．90
B．75
C．60
D．45
解析：产品净重小于100克的频率为(0.050＋0.100)×2＝0.300，已知样本中产品净重
36
小于100克的个数是36，设样本容量为n，则＝0.300，所以n＝120，净重大于或
n等于98克并且小于104克的产品的频率为(0.100＋0.150＋0.125)×2＝0.75，所以样 本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是120×0.75＝90.故选A. 答案：A
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?x＋1?
24
3．在?3?的展开式中，x的幂指数是整数的项共有 ( )
x??
A．3项 B．4项 C．5项 D．6项 124－r1
解析：Tr＋1＝Cr(x－)r 24(x)235r＝Cr24x12－(0≤r≤24) 6∴r可取值为0,6,12,18,24
∴符合要求的项共有5项，故选C. 答案：C
4．(2010·广东佛山)如图所示，在一个边长为1的正方形AOBC内，曲线y＝x2和曲线 y＝x围成一个叶形图(阴影部分)，向正方形AOBC内随机投一点(该点落在正方形 AOBC内任何一点是等可能的)，则所投的点落在叶形图内部的概率是
( )
11A. B. 2311C. D. 46
解析：S阴＝?1(
?0
?
x－x)dx＝?
?
2
3x
2x3－332
??1??＝3，S??
10
正＝1，
S阴1
∴P＝＝，故选B.
S正3答案：B
5．(2010·山东)已知随机变量ξ服从正态分布N(0，σ2)．若P(ξ>2)＝0.023，则P(－2≤ξ≤2)
＝ ( )
A．0.477 B．0.628 C．0.954 D．0.977 解析：P(－2≤ξ≤2)＝1－2P( ξ>2) ＝1－0.046 ＝0.954.
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答案：C
6．已知随机变量ξ和η，其中η＝12ξ＋7，且Eη＝34，若ξ的分布列如下表，则m的值
为
( )
ξ P 1 1 42 m 3 n 4 1 121111A. B. C. D. 3468
解析：本题考查随机变量的期望及有关的运算，由η＝12ξ＋7?Eη＝12Eξ＋7?34 991111＝12·Eξ＋7?Eξ＝?＝1×＋2×m＋3×n＋4×，又＋m＋n＋＝1，联立求
444124121
解可得m＝.
3答案：A 二、填空题 7．(ax－
110
)的展开式中x4项的系数为210，则实数a的值为________． x
r10－r(－1)rx－＝ 解析：二项展开式的通项Tr＋1＝Cr10(ax)2
3r3r10－r(－1)rx10－，令10－＝4得r＝4，由C4a6＝210，得a6＝1，故a＝±Cr1 10a10
22答案：±1
8．左口袋里装有3个红球，2个白球，右口袋里装有1个红球，4个白球．若从左口袋 里取出1个球装进右口袋里，掺混好后，再从右口袋里取出1个球，这个球是红球
的
概率为________．
解析：分两种情况，从左边口袋里取出的是红球放在右边口袋里，则从右边口袋里321
取出的是红球，其概率是×＝；从左边口袋里取出的是白球，再从右边的口袋里取
565211114
出的是红球，其概率是×＝，所求概率为＋＝.
5615515154
答案：
15
9．(2010·广东河源)在圆周上有10个等分点，以这些点为顶点，每3个点可以构成一个
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三角形，如果随机选择3个点，则刚好构成直角三角形的概率为________． 解析：∵直角三角形的斜边是圆的直径，而圆周上的10个等分点能组成5条直径，
3∴直角三角形的个数为5C18＝40(个)．而每3个点能构成的三角形有C10＝120(个)，
401∴所求概率为P＝＝.
12031答案：
3
10．(2010·湖北)某射手射击所得环数ξ的分布列如下：
ξ P 7 x 8 0.1 9 0.3 10 y 已知ξ的期望Eξ＝8.9，则y的值为________． 解析：x＋0.1＋0.3＋y＝1，即x＋y＝0.6.① 又7x＋0.8＋2.7＋10y＝8.9，化简得7x＋10y＝5.4② 由①②联立解得x＝0.2，y＝0.4. 答案：0.4 三、解答题
11．(2010·湖南)下图是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量(单位：吨)的频率
分布直方图．
(1)求直方图中x的值；
(2)若将频率视为概率，从这个城市随机抽取3位居民(看作有放回的抽样)，求月均 用水量在3至4吨的居民数X的分布列和数学期望．
解：(1)依题意及频率分布直方图知，0.02＋0.1＋x＋0.37＋0.39＝1， 解得x＝0.12.
(2)由题意知，X～B(3,0.1)． 因此P(X＝0)＝C03×0.93＝0.729，
2
P(X＝1)＝C13×0.1×0.9＝0.243，
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2P(X＝2)＝C23×0.1×0.9＝0.027， 3
P(X＝3)＝C33×0.1＝0.001.
故随机变量X的分布列为
X P 0 0.729 1 0.243 2 0.027 3 0.001 X的数学期望为EX＝3×0.1＝0.3. 12．(2010·江苏)某工厂生产甲、乙两种产品．甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；
乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%.生产1件甲产品，若是一等品则获得
利
润4万元，若是二等品则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品则获得利润
6
万元，若是二等品则亏损2万元．设生产各件产品相互独立．
(1)记X(单位：万元)为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X的分布 列；
(2)求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率． 解：(1)由题设知，X的可能取值为10,5,2，－3，且 P(X＝10)＝0.8×0.9＝0.72，P(X＝5)＝0.2×0.9＝0.18， P(X＝2)＝0.8×0.1＝0.08，P(X＝－3)＝0.2×0.1＝0.02. 由此得X的分布列为
X P －3 0.02 2 0.08 5 0.18 10 0.72 (2)设生产的4件甲产品中一等品有n件，则二等品有(4－n)件． 14由题设知4n－(4－n)≥10，解得n≥，
5又n∈N，得n＝3或n＝4.
4·所以P＝C30.83·0.2＋C40.84＝0.819 2. 4·
故所求概率为0.819 2
13．(2010·四川)某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，
1
购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为.甲、乙、丙三
6位同学每人购买了一瓶该饮料．
(1)求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率； (2)求中奖人数ξ的分布列及数学期望Eξ.
1
解：(1)设甲、乙、丙中奖的事件分别为A、B、C，那么P(A)＝P(B)＝P(C)＝. 6
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