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新课程标准数学选修2—3第二章课后习题解答
第二章 随机变量及其分布
2．1离散型随机变量及其分布列 练习（P45） 1、（1）能用离散型随机变量表示. 可能的取值为2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12.
（2）能用离散型随机变量表示. 可能的取值为0，1，2，3，4，5. （3）不能用离散型随机变量表示.
说明：本题的目的是检验学生是否理解离散型随机变量的含义. 在（3）中，实际值与规定值之差可能的取值是在0附近的实数，既不是有限个值，也不是可数个值. 2、可以举的例子很多，这里给出几个例子： 例1 某公共汽车站一分钟内等车的人数； 例2 某城市一年内下雨的天数；
例3 一位跳水运动员在比赛时所得的分数； 例4 某人的手机在1天内接收到电话的次数.
说明：本题希望学生能观察生活中的随机现象，知道哪些量是随机变量，哪些随机变量又是离散型随机变量. 练习（P49）
1、设该运动员一次罚球得分为X，X是一个离散型随机变量，其分布列为
0 1 X P 0.3 0.7 说明：这是一个两点分布的例子，投中看作试验成功，没投中看作试验失败. 通过这样的例子可以使学生理解两点分布是一个很常用的概率模型，实际中大量存在. 虽然离散型随机变量的分布列可以用解析式的形式表示，但当分布列中的各个概率是以数值的形式给出时，通常用列表的方式表示分布列更为方便.
2、抛掷一枚质地均匀的硬币两次，其全部可能的结果为{正正，正反，反正，反反}. 正面向上次数X是一个离散型随机变量，
1 P(X?0)?P( 25反反{}?)?0.42 P(X?1)?P(正反{}反正{?})? 0.541 P(X?2)?P( 25正正{}?)?0.4因此X的分布列为 0 1 2 X P 0.25 0.5 0.25
说明：这个离散型随机变量虽然简单，但却是帮助学生理解随机变量含义的一个很好的例子. 试验的全部可能的结果为{正正，正反，反正，反反}，随机量X的取值范围为{0，1，2}，对应关系为
正正→2 正反→1 反正→1 反反→0
在这个例子中，对应于1的试验结果有两个，即“正反”和“反正”，因此用随机变量X不能表示随机事件{正反}. 这说明对于一个具体的随机变量而言，有时它不能表示所有的随机事件.
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可以通过让学生们分析下面的推理过程存在的问题，进一步巩固古典概型的知识. 如果把X所有取值看成是全体基本事件，即??{0,1,2}.
1. 3这与解答的结果相矛盾. 原因是这里的概率模型不是古典概型，因此上面式中的最后一个等号不成立. 详细解释下：虽然?中只含有3个基本事件，但是出现这3个基本事件不是等可能的，因此不能用古典概型计算概率的公式来计算事件发生的概率.
3、设抽出的5张牌中包含A牌的张数为X，则X服从超几何分布，其分布列为
根据古典概型计算概率的公式有 P(X?1)?P({1})?i5?iC4C48，i?0，1，2，3，4. P(X?i)?5C52因此抽出的5张牌中至少3张A的概率为
P(X?3)?P(X?3)?P(X?4)?0.002.
说明：从52张牌任意取出5张，这5张牌中包含A的个数X是一个离散型随机变量. 把52张牌看成是52件产品，把牌A看成次品，则X就成为从含有四件次品的52件产品中任意抽取5件中的次品数，因此X服从超几何分布. 本题的目的是让学生熟悉超几何分布模型，体会超几何分布在不同问题背景下的表现形式. 当让本题也可以用古典概型去解决，但不如直接用超几何分布简单. 另外，在解题中分布列是用解析式表达的，优点是书写简单，一目了然.
4、两点分布的例子：掷一枚质地均匀的硬币出现正面的次数X服从两点分布；射击一次命中目标的次数服从两点分布.
超几何分布的例子：假设某鱼池中仅有鲤鱼和鲑鱼两种鱼，其中鲤鱼200条，鲑鱼40条，从鱼池中任意取出5条鱼，这5条鱼包含鲑鱼的条数X服从超几何分布. 说明：通过让学生举例子的方式，帮助学生理解这两个概率模型. 习题2.1 A组（P49） 1、（1）能用离散型随机变量表示.
设能遇到的红灯个数为X，它可能的取值为0，1，2，3，4，5.
事件{X＝0}表示5个路口遇到的都不是红灯；事件{X＝1}表示5个路口其中有1个路口遇到红灯，其他4个路口都不是红灯；事件{X＝2}表示5个路口其中有2个路口遇到红灯，其他3个路口都不是红灯；事件{X＝3}表示5个路口其中有3个路口遇到红灯，剩下2个路口都不是红灯；事件{X＝4}表示5个路口其中有4个路口遇到红灯，另外1个路口都不是红灯；事件{X＝5}表示5个路口全部都遇到红灯.
（2）能用离散型随机变量表示.
?1，成绩不及格??2，成绩及格? 定义 X??3，成绩中
?4，成绩良???5，成绩优高中数学
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则X是一个离散型随机变量，可能的取值为1，2，3，4，5.
事件{X＝1}表示该同学取得的成绩为不及格；事件{X＝2}表示该同学取得的成绩为及格；事件{X＝3}表示该同学取得的成绩为中；事件{X＝4}表示该同学取得的成绩为良；事件{X＝5}表示该同学取得的成绩为优.
说明：本题是考查学生是否理解离散型随机变量的含义. 在（2）中，需要学生建立一个对应关系，因为随机变量的取值一定是实数，但这个对应关系不是唯一的，只要是从五个等级到实数的意义映射即可. 2、某同学跑1 km所用时间X不是一个离散型随机变量. 如果我们只关心该同学是否能够取得优秀成绩，可以定义如下的随机变量：
?0，跑1km所用的时间?4min Y???1，跑1km所用的时间?4min它是离散型随机变量，且仅取两个值：0或1.
事件{Y?1}表示该同学跑1 km所用时间小于等于4 min，能够取得优秀成绩；事件{Y?0}表示该同学跑1 km所用时间大于4 min，不能够取得优秀成绩.
说明：考查学生在一个随机现象中能否根据关心的问题不同定义不同的随机变量，以简化问题的解答. 可以与教科书中电灯泡的寿命的例子对比，基本思想是一致的.
3、一般不能. 比如掷一枚质地均匀的硬币两次，用随机变量X表示出现正面的次数，则不能用随机变量X表示随机事件{第1次出现正面且第2次出现反面}和{第1次出现反面且第2次出现正面}. 因为{X＝1}＝{第1次出现正面且第2次出现反面}∪{第1次出现反面且第2次出现正面}，所以这两个事件不能分别用随机变量X表示.
说明：一个随机变量是与一个事件域相对应的，一个事件域一般是由部分事件组成，但要满足一定的条件. 对离散型随机变量，如果它取某个值是由几个随机变量组成，则这几个随机事件就不能用随机变量表示，比如从一批产品中依次取出几个产品，用X表示取出的产品中次品的个数，这时我们不能用X表示随机事件{第i次取出次品，其他均为合格品}.
4、不正确，因为取所有值的概率和不等于1.
说明：考查学生对分布列的两个条件的理解，每个概率不小于0，其和等于1，
即 （1）pi?0，i?1,2, （2）?pi?1.
i?1n,n；
5、射击成绩优秀可以用事件{X≥8}表示，因此射击优秀的概率为
P{X≥8}＝P(X?8)?P(X?9)?P(X?10)?0.28?0.29?0.22?0.79
说明：本题知识点是用随机变量表示随机事件，并通过分布列计算随机事件的概率.
6、用X表示该班被选中的人数，则X服从超几何分布，其分布列为
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i10?iC4C26， i?0，1，2，3，4. P(X?i)?10C30 该班恰有2名同学被选到的概率为
4!26!?CC190P(X?2)??2!?2!8!?18!??0.312.
30!C60910!?20!说明：本题与49页练习的第3题类似，希望学生在不同背景下能看出超几何分布模型.
习题2.1 B组（P49） 1、（1）设随机抽出的3篇课文中该同学0 1 2 3 X 能背诵的 03122130CCCCCCCC46464646篇数为X，则X是一个离散型随机变量，P 3333CCCC10101010它可能的
取值为0，1，2，3，且X服从超几何分布，分布列 为
即
0 1 2 3 X 3111 P 102630 （2）该同学能及格表示他能背出2或3篇，故他能及格的概率为
112P(X?2)?P(X?2)?P(X?3)????0.667.
263说明：本题是为了让学生熟悉超几何分布模型，并能用该模型解决实际问题. 2、用X表示所购买彩票上与选出的7个基本号码相同的号码的个数，则X服从超几何分布，其分布列为
248261030i7?iC7C29， i?0，1，2，3，4，5，6，7. P(X?i)?7C36至少中三等奖的概率为
526170C7C29C7C29C7C2997P(X?5)?????0.001. 777C36C36C3692752说明：与上题类似同样是用超几何分布解决实际问题，从此题的结算结果可以看
出至少中三等奖的概率近似为1／1000. 2．2二项分布及其应用 练习（P54）
1、设第1次抽到A的事件为B，第2次抽到A的事件为C，则第1次和第2次都抽到A的事件为BC.
解法1：在第1次抽到A的条件下，扑克牌中仅剩下51张牌，其中有3张A，所以在第1次抽到A的条件下第2次也抽到A的概率为
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3. 51解法2：在第1次抽到A的条件下第2次也抽到A的概率为
P(CB)?P(CB)?n(BC)4?33??. n(B)4?5151解法3：在第1次抽到A的条件下第2次也抽到A的概率为
4?3P(BC)52?513P(CB)???.
4?51P(B)5152?51说明：解法1是利用缩小基本事件范围的方法计算条件概率，即分析在第1次抽到A的条件下第2次抽取一张牌的随机试验的所有可能结果，利用古典概型计算概率的公式直接得到结果. 解法2实际上是在原来的基本事件范围内通过事件的计数来计算条件概率. 第3种方法是利用条件概率的定义来计算. 这里可以让学生体会从不同角度求解条件概率的特点.
2、设第1次抽出次品的时间为B，第2次抽出正品的事件为C，则第1次抽出次品且第2次抽出正品的事件为BC.
解法1：在第1次抽出次品的条件下，剩下的99件产品中有4件次品，所以在第1次抽出次品的条件下第2次抽出正品的概率为
95. P(CB)?99解法2：在第1次抽出次品的条件下第2次抽出正品的概率为
P(CB)?n(BC)5?9595??. n(B)5?9999解法3：在第1次抽出次品的条件下第2次抽出正品的概率为
5?95P(BC)100?9995. P(CB)???5?99P(B)99100?99说明：与上题类似，可以用不同方法计算条件概率.
3、例1 箱中3张奖券中只有1张能中奖，现分别由3人无放回地任意抽取，在已知第一个人抽到奖券的条件下，第二个人抽到奖券的概率或第三个人抽到奖券的概率，均为条件概率，它们都是0.
例2 某班有45名同学，其中20名男生，25名女生，依次从全班同学中任选两名同学代表班级参加知识竞赛，在第1名同学是女生的条件下，第2名同学也是女生的概率.
说明：这样的例子很多，学生举例的过程可以帮助学生理解条件概率的含义. 练习（P55）
1、利用古典概型计算的公式，可以求得
P(A)?0.5，P(B)?0.5，P(C)?0.5， P(AB)?0.25，P(BC)?0.25，P(AC)?0.25，
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高中数学选修2-3第二章课后习题解答
