直线与圆、圆与圆的位置关系
1．直线与圆的位置关系
设直线l：Ax＋By＋C＝0(A＋B≠0)， 圆：(x－a)＋(y－b)＝r(r>0)，
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d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的
判别式为Δ.
方法 几何法 位置关系 相交 相切 相离 2.圆与圆的位置关系
设圆O1：(x－a1)＋(y－b1)＝r1(r1>0)， 圆O2：(x－a2)＋(y－b2)＝r2(r2>0)．
方法 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切．( )
(2)若两个圆的方程组成的方程组无解，则这两个圆的位置关系为外切．( ) (3)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x＋y＝1相交”的必要不充分条件．( ) (4)联立两相交圆的方程，并消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的
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代数法 d 答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√ (教材习题改编)若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)＋y＝2有公共点，则实数a的取值范围是( ) A．[－3，－1] C．[－3，1] B．[－1，3] D．(－∞，－3]∪[1，＋∞) 2 2 解析：选C.由题意可得，圆的圆心为(a，0)，半径为2， 所以 |a－0＋1|1＋（－1） 2 2 22≤2，即|a＋1|≤2，解得－3≤a≤1，故选C. 圆Q：x＋y－4x＝0在点P(1，3)处的切线方程为( ) A．x＋3y－2＝0 C．x－3y＋4＝0 解析：选D.因点P在圆上，且圆心Q的坐标为(2，0)， －33 所以kPQ＝＝－3，所以切线斜率k＝， 2－13所以切线方程为y－3＝即x－3y＋2＝0. 若圆C1：x＋y＝1与圆C2：x＋y－6x－8y＋m＝0外切，则实数m＝________． 解析：圆C1的圆心是原点(0，0)，半径r1＝1，圆C2：(x－3)＋(y－4)＝25－m，圆心 2 2 2 2 2 2 B．x＋3y－4＝0 D．x－3y＋2＝0 3 (x－1)， 3 C2(3，4)，半径r2＝25－m，由两圆外切，得|C1C2|＝r1＋r2＝1＋25－m＝5，所以m＝9. 答案：9 直线x－2y＋5＝0与圆x＋y＝8相交于A，B两点，则|AB|＝________． 解析： 2 2 如图，取AB中点C，连接OC，OA，则OC⊥AB， |OA|＝22，|OC|＝ |0－2×0＋5|1＋（－2） 22＝5， 所以|AC|＝8－5＝3， 2 所以|AB|＝2|AC|＝23. 答案：23 直线与圆的位置关系 (1)已知点M(a，b)在圆O：x＋y＝1外， 则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系 是( ) A．相切 C．相离 2 2 2 2 B．相交 D．不确定 (2)圆x＋y＝1与直线y＝kx＋2没有公共点的充要条件是________． 【解析】 (1)因为M(a，b)在圆O：x＋y＝1外， |a·0＋b·0－1|122 所以a＋b＞1，从而圆心O到直线ax＋by＝1的距离d＝＝＜ a2＋b2a2＋b21， 所以直线与圆相交． (2)法一：将直线方程代入圆方程，得(k＋1)x＋4kx＋3＝0，直线与圆没有公共点的充要条件是Δ＝16k－12(k＋1)<0，解得k∈(－3，3)． 法二：圆心(0，0)到直线y＝kx＋2的距离d＝件是d>1，即 2 >1，解得k∈(－3，3)． 2 2 2 2 2 2 2 k2＋1 ，直线与圆没有公共点的充要条k2＋1 【答案】 (1)B (2)k∈(－3，3) 若将本例(1)的条件改为“点M(a，b)在圆O：x＋y＝1上”，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系如何？ 解：由点M在圆上，得a＋b＝1，所以圆心O到直线ax＋by＝1的距离d＝则直线与圆O相切． 2 2 2 2 1 a2＋b2 ＝1， [提醒] 上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题． 3
2024年高考数学专题复习直线与圆、圆与圆的位置关系
