【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】 【分析】
2；（3）32． 2（1）连接OD，由圆周角定理就可得∠ADB=90°和∠CDB=90°，又由E为BC的中点可以得出DE=BE，进一步得到∠EDO＝∠EBO，由等式的性质就可以得出∠ODE=90°即可证明；
（2）由S2=5S1，即△ADB的面积是△CDE面积的4倍，可得AD:CD=2:1，AD:BD=2，则可求tan∠BAC； （3）由（2）的关系即可知AD:BD=2，在Rt△AEB中，运用勾股定理解答即可． 【详解】（1）证明：连接OD， ∴OD＝OB
∴∠ODB＝∠OBD． ∵AB是直径， ∴∠ADB＝90°， ∴∠CDB＝90°． ∵E为BC的中点， ∴DE＝BE， ∴∠EDB＝∠EBD，
∴∠ODB+∠EDB＝∠OBD+∠EBD， 即∠EDO＝∠EBO．
∵BC是以AB为直径的⊙O的切线， ∴AB⊥BC， ∴∠EBO＝90°， ∴∠ODE＝90°， ∴DE是⊙O的切线； （2）解：∵S2＝5S1，
∴S△ADB＝2S△CDB， ∴
AD2＝， DC1∵△BDC∽△ADB， ∴
DBAD＝， DBDC∴DB2＝AD?DC， ∴
DB2
， ?AD2DB2； ?AD2DB2， ?AD2∴tan∠BAC＝
（3）解：∵tan∠BAC＝
∴
BC22AB＝22 ， ，得BC＝?AB22∵E为BC中点， ∴BE＝∴AE＝1BC＝2， 2AB2?BE2?42?(2)2?32．
【点睛】本题考查了圆周角定理的运用、直角三角形的性质的运用、等腰三角形的性质的运用、切线的判定定理的运用、勾股定理的运用、相似三角形的判定和性质等知识点，正确添加辅助线是解答本题的关键． 26.铁岭市某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y(千克)与每千克降价x(元)(0＜x＜20)之间满足一次函数关系，其图象如图所示：
的
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价多少元？ (3)该干果每千克降价多少元时，商贸公司获利最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)y＝10x+100；(2)这种干果每千克应降价9元；(3)该干果每千克降价5元时，商贸公司获利最大，最大利润是2250元． 【解析】 【分析】
（1）由待定系数法即可得到函数的解析式；
（2）根据销售量×每千克利润＝总利润列出方程求解即可； （3）根据销售量×每千克利润＝总利润列出函数解析式求解即可． 【详解】(1)设y与x之间的函数关系式为：y＝kx+b，
?2k?b?120把(2，120)和(4，140)代入得，?，
4k?b?140?解得：??k?10，
?b?100∴y与x之间的函数关系式为：y＝10x+100； (2)根据题意得，(60﹣40﹣x)(10x+100)＝2090， 解得：x＝1或x＝9，
∵为了让顾客得到更大的实惠， ∴x＝9，
答：这种干果每千克应降价9元；
(3)该干果每千克降价x元，商贸公司获得利润是w元， 根据题意得，w＝(60﹣40﹣x)(10x+100)＝﹣10x2+100x+2000， ∴w＝﹣10(x﹣5)2+2250，
∵a=-10?0，∴当x＝5时，w最大?2250
故该干果每千克降价5元时，商贸公司获利最大，最大利润是2250元．
【点睛】本题考查的是二次函数的应用，此类题目主要考查学生分析、解决实际问题能力，又能较好地考查学生“用数学”的意识．
27.如图1，已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，垂足为点E，GF⊥CD，垂足为点F． （1）证明：四边形CEGF是正方形； （2）探究与证明：
将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），如图2所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由； （3）拓展与运用：
正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），如图3所示，当B，E，F三点在一条直线上时，延长CG交AD于点H，若AG＝6，GH＝22，求BC的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）AG＝2BE，理由见解析；（3）BC=35． 【解析】 【分析】
（1）先说明GE⊥BC、GF⊥CD，再结合∠BCD=90°可证四边形CEGF是矩形，再由∠ECG=45°即可证明；
（2）连接CG，证明△ACG∽△BCE，再应用相似三角形的性质解答即可； （3）先证△AHG∽△CHA可得
AGGHAH2??，设BC＝CD＝AD＝a，则AC＝2a，求出AH=a，ACAHCH3DH=
1AGAH10?a，CH=即可求得a的值． a ，最后代入ACCH33【详解】（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BCD＝90°，∠BCA＝45°， ∵GE⊥BC、GF⊥CD，
∴∠CEG＝∠CFG＝∠ECF＝90°，
∴四边形CEGF是矩形，∠CGE＝∠ECG＝45°， ∴EG＝EC，
∴四边形CEGF是正方形．
（2）结论：AG＝2BE； 理由：连接CG，
由旋转性质知∠BCE＝∠ACG＝α， 在Rt△CEG和Rt△CBA中，
CE22CB ， ＝cos45°＝，?cos45??CGCA22∴
CECA??2 ， CGCBAGCA??2， BECB∴△ACG∽△BCE， ∴
∴线段AG与BE之间的数量关系为AG＝2BE； （3）∵∠CEF＝45°，点B、E、F三点共线， ∴∠BEC＝135°， ∵△ACG∽△BCE， ∴∠AGC＝∠BEC＝135°， ∴∠AGH＝∠CAH＝45°， ∵∠CHA＝∠AHG， ∴△AHG∽△CHA， ∴
AGGHAH??， ACAHCH设BC＝CD＝AD＝a，则AC＝2a， 则由
AGGH622?，得， ?ACAH2aAH2a， 3∴AH＝
则DH＝AD﹣AH＝
110a，CH?CD2?DH2?a， 33
中考第一次模拟检测《数学卷》附答案解析
