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一元二次不等式及其解法(复习课)
【常考题型】
题型一、简单的分式不等式
【例1】 解下列不等式 x＋2x＋1(1)<0；(2)≤2. 1－xx－2x＋2x＋2[解] (1)由<0，得>0，
1－xx－1此不等式等价于(x＋2)(x－1)>0， ∴原不等式的解集为{x|x<－2或x>1}． x＋1
(2)法一：移项得－2≤0，
x－2
－x＋5x－5
左边通分并化简有≤0，即≥0，
x－2x－2
???x－2??x－5?≥0，
它的同解不等式为?
??x－2≠0，
∴x<2或x≥5.
∴原不等式的解集为{x|x<2或x≥5}． x－5
法二：原不等式可化为≥0，
x－2
??x－5≥0，
此不等式等价于?①
?x－2>0???x－5≤0，
或?② ?x－2<0，?
解①得x≥5，解②得x<2，
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∴原不等式的解集为{x|x<2或x≥5}． 【类题通法】
1．对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零．
2．对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．
【对点训练】 1．解下列不等式：
x＋22x－1(1)≥0； (2)>1. 3－x3－4x
???x＋2??3－x?≥0，解：(1)原不等式等价于?
?3－x≠0，???x＋2??x－3?≤0，
即??－2≤x<3. ?x≠3
∴原不等式的解集为{x|－2≤x<3}． 2x－13x－2
(2)原不等式可化为－1>0，即<0.
3－4x4x－3等价于(3x－2)(4x－3)<0. 23
∴ 23∴原不等式的解集为{x| 题型二、不等式中的恒成立问题 【例2】 关于x的不等式(1＋m)x2＋mx＋m＜x2＋1对x∈R恒成立，求实数m的取值范围． [解] 原不等式等价于mx2＋mx＋m－1＜0，对x∈R恒成立， 当m＝0时，0·x2＋0·x－1＜0对x∈R恒成立． 2word版本可编辑.欢迎下载支持. 文档从网络中收集，已重新整理排版.word版本可编辑.欢迎下载支持. 当m≠0时，由题意，得 ???m＜0，?m＜0，??? 22 ???Δ＝m－4m?m－1?＜0?3m－4m＞0??m＜0，??4?m＜0. ??m＜0，或m＞3 综上，m的取值范围为m≤0. 【类题通法】 不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0， ??a＞0，它的解集为R的条件为? 2 ??Δ＝b－4ac＜0； ??a＞0，2 一元二次不等式ax＋bx＋c≥0，它的解集为R的条件为? 2 ??Δ＝b－4ac≤0；?a＜0， 一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为?的条件为? ?Δ≤0. 【对点训练】 2．若关于x的不等式ax2＋2x＋2＞0在R上恒成立，求实数a的取值范围． 解：当a＝0时，原不等式可化为2x＋2＞0，其解集不为R，故a＝0不满足题意，舍去； 当a≠0时，要使原不等式的解集为R，只需 1 解得a＞. 2 1 ，＋∞?. 综上，所求实数a的取值范围为??2? 题型三、一元二次不等式的实际应用 【例3】 某农贸公司按每担200元收购某农产品，并按每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x(x≠0)个百分点，预测收购量可增加2x个百分点． 3word版本可编辑.欢迎下载支持.
高中数学必修5常考题型：一元二次不等式及其解法复习课
