例17：如图3—16所示，一水平放置的光滑平行导轨上放一质量 为m的金属杆，导轨间距为L，导轨的一端连接一阻值为R的电 阻，其他电阻不计，磁感应强度为B的匀强磁场垂直于导轨平面. 现给金属杆一个水平向右的初速度v0，然后任其运动，导轨足够 长，试求金属杆在导轨上向右移动的最大距离是多少？ 解析：水平地从a向b看，杆在运动过程中的受力分析 如图3—16—甲所示，这是一个典型的在变力作用下求位 移的题，用我们已学过的知识好像无法解决，其实只要 采用的方法得当仍然可以求解.
设杆在减速中的某一时刻速度为v，取一极短时间△t，发 生了一段极小的位移△x，在△t时间内，磁通量的变化为 △φ △φ=BL△x I=
εR
=
ΔΦBLΔx
=
ΔtRΔtR
B2L2Δx
金属杆受到安培力为F安=ILB=
ΔtR
由于时间极短，可以认为F安为恒力，选向右为正方向，在△t时间内，
B2L2Δx
安培力F安的冲量为：ΔI=?F安?Δt=?
R
对所有的位移求和，可得安培力的总冲量为
B2L2ΔxB2L2 ① 其中x为杆运动的最大距离，
I=∑(?)=?x
RR
对金属杆用动量定理可得 I=0－mV0 ② 由①、②两式得：x=
mV0R
22
BL
例18：如图3—17所示，电源的电动热为E，电容器的 电容为C，S是单刀双掷开关，MN、PQ是两根位于同 一水平面上的平行光滑长导轨，它们的电阻可以忽略不计， 两导轨间距为L，导轨处在磁感应强度为B的均匀磁场 中，磁场方向垂直于两导轨所在的平面并指向图中纸面 向里的方向.L1和L2是两根横放在导轨上的导体小棒， 质量分别为m1和m2，且m1 （1）两根小棒最终速度的大小； 物理奥赛三第10页 （2）在整个过程中的焦耳热损耗.（当回路中有电流时，该电流所产生的磁场可忽略不计） 解析：当开关S先合上1时，电源给电容器充电，当开关S再合上2时，电容器通过导体小棒放电，在放电过程中，导体小棒受到安培力作用，在安培力作用下，两小棒开始运动，运动速度最后均达到最大. （1）设两小棒最终的速度的大小为v，则分别为L1、L2为研究对象得： ′?m1v1 FiΔti=m1v1 由①、②得： i1 ∑FΔt i1 i1 i1 =m1v ① 同理得： ∑F i2 Δti2=m2v ② ∑FΔt+∑F i2 Δti2=(m1+m2)v 又因为 Fi1=Bli1 Δti1=Δti2 Fi2=Bli2 i1+i2=i 所以 ∑BLiΔt 1 i1 +∑BLi2Δti2=BL∑(i1+i2)Δti=BL∑iΔti =BL(Q?q)=(m1+m2)v 而Q=CE q=CU′=CBLv 所以解得小棒的最终速度 v= BLCE 22 (m1+m2)+CBL 11q212 （2）因为总能量守恒，所以CE=+(m1+m2)v2+Q热 22C211q212 即产生的热量 Q热=CE??(m1+m2)v2 22C2 111122 (CBLv)?(m1+m2)v2=CE? 22C211BLCE222 =CE?[CBL?(m1+m2)] 22 22(m1+m2)+CBL (m1+m2)CE2= 2(m1+m2+B2L2C) 针对训练 1．某地强风的风速为v，设空气的密度为ρ，如果将通过横截面 积为S的风的动能全部转化为电能，则其电功率为多少？ 2．如图3—19所示，山高为H，山顶A和水平面上B点的水平 距离为s.现在修一条冰道ACB，其中AC为斜面，冰道光滑， 物理奥赛三第11页 物体从A点由静止释放，用最短时间经C到B，不计过C点 的能量损失.问AC和水平方向的夹角θ多大？最短时间为多少？ 3．如图3—21所示，在绳的C端以速度v匀速收绳从而拉动低 处的物体M水平前进，当绳AO段也水平恰成α角时，物体M的速度多大？ 4，如图3—22所示，质量相等的两个小球A和B通过轻绳绕过两个光滑的定滑轮带动C 球 上升，某时刻连接C球的两绳的夹角为θ，设A、B两球此时下落的速度为v，则C球上升的速度多大？ 5．质量为M的平板小车在光滑的水平面上以v0向左匀速运动，一质量为m的小球从高h 处自由下落，与小车碰撞后反弹上升的高度仍为h.设M>>m，碰撞弹力N>>g，球与车之间的动摩擦因数为μ，则小球弹起后的水平速度可能是 A．2gh B．0 C．2μ2gh D．v0 （ ） 6．半径为R的刚性球固定在水平桌面上.有一质量为M的圆环状均匀弹性细绳圈，原长 2πa，a=R/2，绳圈的弹性系数为k（绳伸长s时，绳中弹性张力为ks）.将绳圈从球的正 上方轻放到球上，并用手扶着绳圈使其保持水平，并最后停留在某个静力平衡位置.考 虑重力，忽略摩擦. （1）设平衡时弹性绳圈长2πb，b=2a，求弹性系数k；（用M、R、g表示，g为重力加 速度） （2）设k=Mg/2π2R，求绳圈的最后平衡位置及长度. 7．一截面呈圆形的细管被弯成大圆环，并固定在竖直平面内， 在环内的环底A处有一质量为m、直径比管径略小的小球， 小球上连有一根穿过环顶B处管口的轻绳，在外力F作用 下小球以恒定速度v沿管壁做半径为R的匀速圆周运动， 如图3—23所示.已知小球与管内壁中位于大环外侧 部分的动摩擦因数为μ，而大环内侧部分的管内壁是光滑 的.忽略大环内、外侧半径的差别，认为均为R.试求小 球从A点运动到B点过程中F做的功WF. 8．如图3—24，来自质子源的质子（初速度为零），经一 加速电压为800kV的直线加速器加速，形成电流为1.0mA 的细柱形质子流.已知质子电荷e=1.60×10 －19 C.这束质子 流每秒打到靶上的质子数为 .假设分布在质子源 到靶之间的加速电场是均匀的，在质子束中与质子源相距l 物理奥赛三第12页 和4l的两处，各取一段极短的相等长度的质子流，其中质 子数分别为n1和n2，则n1: n2 . 9．如图3—25所示，电量Q均匀分布在一个半径为R的 细圆环上，求圆环轴上与环心相距为x的点电荷q所受的 力的大小. 10．如图3—26所示，一根均匀带电细线，总电量为Q， 弯成半径为R的缺口圆环，在细线的两端处留有很小的 长为△L的空隙，求圆环中心处的场强. 11．如图3—27所示，两根均匀带电的半无穷长平行直导 线（它们的电荷线密度为η），端点联线LN垂直于这 两直导线，如图所示.LN的长度为2R.试求在LN的 中点O处的电场强度. 12．如图3—28所示，有一均匀带电的无穷长直导线， 其电荷线密度为η.试求空间任意一点的电场强度. 该点与直导线间垂直距离为r. 13．如图3—29所示，半径为R的均匀带电半球面，电 荷面密度为δ，求球心O处的电场强度. 14．如图3—30所示，在光滑的水平面上，有一垂直向 下的匀强磁场分布在宽度为L的区域内，现有一个边长 为a（a 15．如图3—31所示，在离水平地面h高的平台上有一相 距L的光滑轨道，左端接有已充电的电容器，电容为C， 充电后两端电压为U1.轨道平面处于垂直向上的磁感应 强度为B的匀强磁场中.在轨道右端放一质量为m的金 属棒，当闭合S，棒离开轨道后电容器的两极电压变为U2， 求棒落在离平台多远的位置. 物理奥赛三第13页 16．如图3—32所示，空间有一水平方向的匀强磁场，大小 为B，一光滑导轨竖直放置，导轨上接有一电容为C的电 容器，并套一可自由滑动的金属棒，质量为m，释放后，求 金属棒的加速度a. 答案： 2h3s1θ3 (+) 3．v/(1+cosx) 4．v/cos 5．CD 1．Sρv 2．θ=60° g22h22(2+1)Mg2 （1） （2）绳圈掉地上，长度为原长 7．2mgR+μmπv 6．2 2πR 8．6.25×10,2:1 9．K 15 Qqx(R+x) 2 2 322kλ2kλQΔl 10．K 11． 12． 3 Rr2ρR 2 13．2πRσ 14．m(v0?v2),v′= 1 2v+v0CBL(u1?u2)2hmg 15． 16．a= 22 2m+CBLmg 物理奥赛三第14页
高中物理奥赛方法（清晰版）
