高中物理奥赛经典
力N ,如图2—5甲所示,设对地的加速度为a ,则有:
F = (mA + mB + mC)a ①
隔离B,以地为参考系,受重力mBg 、张力T 、C对B的弹力NB ,应满足:
NB = mBa ,绳子的张力T = mBg ②
隔离A ,以地为参考系,受重力mAg ,绳的张力T ,C的弹力NA ,应满足;
NA = mAg ③ T = mAa ④
当绳和滑轮的质量以及摩擦都不计时,由②、④两式解出加速度:
ma =Bg
mA
代入①式可得:F =
mB(mA+mB+mC)g
mA
例6:如图2—6所示,一根轻质弹簧上端固定,下端挂一质量为m0的平盘,盘中有一物体质量为m ,当盘静止时,弹簧的长度比其自然长度伸长了L ,今向下拉盘,使弹簧再伸长ΔL后停止。然后松手放开,设弹簧总处在弹性限度以内,则刚松开手时盘对物体的支持力等于( )
A.(1 +C.
ΔLΔL
)mg B.(1 +)(m + m0)g LL
ΔLΔLmg D.(m + m0)g LL
解析:确定物体m的加速度可用整体法,确定盘对物体的支持力需用隔离法。选整体
为研究对象,在没有向下拉盘时有:
KL = (m + m0)g ① 在向下拉伸ΔL又放手时有:
KΔL = (m + m0)a ② 再选m为研究对象:FN-mg = ma ③
解得:FN = (1 +
ΔL
)mg L
应选A 。此题也可用假设法、极限法求解。 例7:如图2—7所示,AO是质量为m的均匀细杆,可绕O轴在竖直平面内自动转动。细杆上的P点与放在水平桌面上的圆柱体接触,圆柱体靠在竖直的挡板上而保持平衡,已知杆的倾角为θ ,AP长度是杆长
1
的,各处的摩擦都不计,则挡板对圆柱体的作用力等4
于 。
解析:求圆柱体对杆的支持力可用隔离法,用力矩平衡求解。求挡板对圆柱体的作用
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力可隔离圆柱体,用共点力的平衡来解。
以杆为研究对象,受力如图2—7甲所示,根据力矩平衡条件:
l32
mgcosθ = Fl ,解得:F =mgcosθ 。根据牛顿第三定律,杆对圆柱体的作用力与
324
F大小相等,方向相反,再以圆柱体为研究对象,将力F正交分解,如图2—7—乙,在水
平方向有:
21
mgcosθsinθ =mgsin2θ 33
1
即挡板对圆柱体的作用力为mgsin2θ 。
3
例8:如图2—8所示,质量为m的小球被两个劲度系数皆为k的相同弹簧固定在一个质量为M的盒中,盒从h高处(自桌面量起)开始下落,在盒开始下落的瞬间,两弹簧未
发生形变,小球相对盒静止,问下落的高度h为多少时,盒与桌面发生完全非弹性碰撞后还能再跳起来。
解析:盒下落过程可用整体法研究,下落后弹簧的形变情况应用隔离小球研究,盒起跳时可隔离盒研究。
在盒与桌面发生碰撞之前,小球仅受重力作用,着地时速度为:v =2gh。
碰撞后盒静止,球先压缩下面的弹簧,同时拉上面的弹簧,当小球向下的速度减为零后,接着又向上运动,在弹簧原长位置上方x处,小球的速度又减为0 ,则在此过程中,对小球有:
11mv2 = mgx + 2?kx2 22
把盒隔离出来,为使盒能跳起来,需满足:2kx>Mg ,代入上式可解得: h =
MgM
(1 +) 2k2m
例9:如图2—9所示,四个相等质量的质点由三根不可伸长的绳子依次连接,置于光
滑水平面上,三根绳子形成半个正六边形保持静止。今有一冲量作用在质点A ,并使这个质点速度变为u,方向沿绳向外,试求此瞬间质点D的速度。
解析:要想求此瞬间质点D的速度,由已知条件可知得用动量定理,由于A 、B 、C 、D相关联,所以用隔离法,对B 、C 、D分别应用动量定理,即可求解。以B 、C 、D
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分别为研究对象,根据动量定理:
对B有:IA-IBcos60°= mBu ① IA cos60°-IB = mBu1 ② 对C有:IB-ID cos60°= mCu1 ③ IBcos60°-ID = mcu2 ④ 对D有:ID = mDu2 ⑤
由①~⑤式解得D的速度:u2 =
1u 13
例10:有一个两端开口、粗细均匀的U形玻璃细管,放置在竖直平面内,处在压强为p0的大气中,
两个竖直支管的高度均为h ,水平管的长度为2h ,玻璃细管的半径为r ,且r??h 。今将水平管内灌满密度为ρ的水银,如图2—10所示。
1.如将U形管两个竖直支管的开口分别密封起来,使其管内空气压强均等于大气压强,问当U形管向右做匀加速移动时,5
加速度应为多大时才能使水平管内水银柱的长度稳定为h?
3
2.如将其中一个竖直支管的开口密封起来,使其管内气体压强为1个大气压。问当U形管绕以另一个竖直支管(开口的)为轴做匀速转动时,转数n应为多大才能使水平管内水银柱的长5
度稳定为h(U形管做以上运动时,均不考虑管内水银液面的倾斜)
3
解析:如图2—10—甲所示,U形管右加速运动时,管内水银柱也要以同样加速度运动,所以A管内气体体积减小、压强增大,B管内气体体积增大、压强减小,水平管中液体在水平方向受力不平衡即产生加速度。若U形管以A管为轴匀速转动时,水平部分的液体也要受到水平方向的压力差而产生向心加速度。
1.当U形管以加速度a向右运动时,对水平管中水银柱有:F1-F2 = ma ,即:
(pA + ρg
h5
)S-pBS =hSρ?a ① 33
h
)S ,解得: 3
对A中气体有:p0hS = pA(h-
3
pA =p0 ②
2
对B中气体有:p0hS = pB(h +
h
)S ,解得: 3
3
pB =p0 ③
4
9p+4ρgh
将②、③式代入①式可得:a =0
20ρh
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2.如图2—10—乙,若U形管以A管为轴匀速转动时,对水平管中水银柱有:F2—F1 = ma 。若转速为n ,则有:
(pB′+ ρg
h7
)S-p0S = m?(2πn)2?h ① 36
对B中气体有:p0hS = pB′(h-
h
)?S ,解得: 3
图 2-10-乙
3
pB′=p0 ②
2
将②式代入①式可解得转速: n =
19p0+6ρgh
πh140ρ例11:如图2—11所示,一个上下都与大气相通的竖直圆筒,
中间用两个活塞A与B封住一定质内部横截面的面积S = 0.01m2 ,
量的理想气体,A 、B都可沿圆筒无摩擦地上、下滑动,但不漏气,A的质量可不计,B的质量为M ,并与一倔强系数k = 5×103N/m的较长的弹簧相连。已知大气压强p0 = 1×105Pa ,平衡时,两活塞间的距离l0 = 0.6m 。现用力压A使之缓慢向下移动一定距离后,保持平衡,此时,用于压A的力F = 5×102N 。求活塞A向下移动的距离。(假定气体温度保持不变。)
解析:活塞A下移的距离应为B下降的距离与气体长度的减小量之和,B下降的距离可用整体法求解。气体长度的变化可隔离气体来求解。
选A 、B活塞及气体为研究对象,设用力F向下压A时,活塞B下降的距离为x , 则有:F = kx ①
选气体为研究对象,据玻意耳定律有:p0l0S = (p0 +
F
)l?S ② S
解①②两式可得:x = 0.1m ,l = 0.4m
则活塞A下移的距离为:y = 0.1 + 0.6—0.4 = 0.3m
例12:一个密闭的气缸,被活塞分成体积相等的左右两室,气缸壁与活塞是不导热的,它们之间没有摩擦,两室中气体的温度相等,如图2—12所示,现利用右室中的电热丝对右室中的气3
体加热一段时间,达到平衡后,左室的体积变为原来体积的,
4
气体的温度T1 = 300K 。求右室中气体的温度。
解析:可隔离出A 、B两部分气体,用理想气体状态方程求解。 设原来两室中气体的压强都为p ,温度都为T ,体积都为V ,
3p′VpV
=4 ① 对左边气体有:TT1
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5p′VpV
对右边气体有:=4 ②
T2T5
①、②两式相比,可得右室中气体温度T2 =T1 = 500K
3
例13:如图2—13所示,封闭气缸的活塞被很细的弹簧拉着,气缸内密封一定质量的气体,当温度为27℃时,弹簧的长度为30cm ,此时缸内气体的压强为缸外大气压的1.2倍,当气温升到123℃时,弹簧的长度为36cm ,求弹簧的原长。
解析:本题所研究的对象就是密封在气缸内的一定质量的气体,气体所处的初态为:
(S为气缸横截面积,L1为弹簧长度)p1 = p0 +T1 = 300K 、V1 = SL1 、
末态为T2 = 396K 、V2 = SL2 、p2 = p0 +
F1
= 1.2P0 ,S
F2
(p0为大气压强,F1 、F2为弹簧的弹力)。气S
体从初态过渡到末态时质量恒定,所以可利用状态方程求解:
pVpV
将上述各状态参量代入状态方程:11=22
T1T2
解得:p2 = 1.1p1 = 1.32p0
由于弹力产生的压强等于气缸内外气体的压强差,所以: KΔL1
= p1—p0 = 0.2p0 ① S
KΔL2
= p2—p0 = 0.32p0 ② S
联立①、②式得:ΔL2 = 1.6ΔL1 即:L2—L0 = 1.6 (L1—L0) 解得弹簧的原长为L0 = 20cm
例14:一个由绝缘细细构成的钢性圆形轨道,其半径为R ,此轨道水平放置,圆心在O点,一个金属小珠P穿在此轨道上,可沿轨道无摩擦地滑动,小珠P带电荷Q 。已知在轨道平面内A点(OA = r<R)放有一电荷q。若在OA连线上某一点A1放电荷q1 ,则给小珠P一个初速度,它就沿轨道做匀速圆周运动,求A1点的位置及电荷q1之值。
解析:小珠P虽沿轨道做匀速圆周运动,但受力情况并不清楚,因此不能从力的角度来解决,可以从电势的角度来考虑,因为小珠P沿轨道做匀速圆周运动,说明小珠只受法向的电场力。由此可知,电场力对小珠P做功为零,根据W = qU可知,圆轨道上各点电势相等,根据题意作图如图2—14 ,设A1点距圆形轨道的圆心O为r1 ,A点放的电荷q距圆心为r ,由此得:
kq1kq= ① R?rr1?R
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高中物理奥赛方法(清晰版)
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