高中物理奥赛经典
例11：质量为m的小球带电量为Q ，在场强为E的水平匀强电场中获得竖直向上的初速度为v0 。 若忽略空气阻力和重力加速度g随高度的变化，求小球在运动过程中的最小速度。
解析：若把电场力Eq和重力mg合成一个力，则小球相当于只受一个力的作用，由于小球运动的初速度与其所受的合外力之间成一钝角，因此可以把小球的运动看成在等效重力G′（即为合外力）作用下的斜抛运动，而做斜抛运动的物体在其速度方向与G′垂直时的速度为最小，也就是斜抛运动的最高点，由此可见用这种等效法可以较快求得结果。
电场力和重力的合力方向如图4—9所示，
mg
由图所示的几何关系可知：tanθ =qE小球从O点抛出时，在y方向上做匀减速直线运动，在x轴方向上做匀速直线运动。 当在y轴方向上的速度为零时，小球只具有x轴方向上的速度，此时小球的速度为最小值，所以：
vmin = v0cosθ =qEv0(mg)+(qE)22
图4—9
（此题也可以用矢量三角形求极值的方法求解，读者可自行解决。） 例12：如图4—10所示，R1 、R2 、R3为定值电阻，但阻值未知，Rx为电阻箱。当Rx为Rx1 = 10?时，通过它的电流Ix1 = 1.0A ；当Rx为Rx2 = 18?时，通过它的电流Ix2 = 0.6A 。则当Ix3 = 0.1A时，求电阻Rx3 。
解析：电源电动势ε 、内电阻r 、电阻R1 、R2 、R3均未知，按题目给的电路模型列式求解，显然方程数少于未知量数，
图4—10
于是可采取变换电路结构的方法。
将图4—10所示的虚线框内电路看成新的电源，则等效电路如图4—10甲所示，电源的电动势为ε′，内电阻为r′。 根据电学知识，新电路不改变Rx和Ix的对应关系，有：
ε′= Ix1(Rx1 + r′) ① ε′= Ix2(Rx2 + r′) ② 图4—10甲 ε′= Ix3(Rx3 + r′) ③ 由①、②两式，得：ε′= 12V ，r′= 2? 代入③式，可得：Rx3 = 118?
例13：如图4—11所示的甲、乙两个电阻电路具有这样的特性：对于任意阻值的RAB 、RBC和RCA ，相应的电阻Ra 、Rb和Rc可确定。 因此在对应点A和a ，B和b 、C和c的电位是相同的，并且，流入对应点（例如A和a）的电流也相同，
RABRCA
，并证明利用这些条件证明：Ra =图4—11
RAB+RBC+RCA
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对Rb和Rc也有类似的结果，利用上面的结果求图4—11甲中P和Q两点之间的电阻。
解析：图4—11中甲、乙两种电路的接法分别叫三角形接法和星形接法，只有这两种电路任意两对应点之间的总电阻部分都相等，两个电路可以互相等效，对应点A 、a 、B 、b和C 、c将具有相同的电势。
由Rab = RAB ，Rac = RAC ，Rbc = RBC ，对ab间，有：
RR+RABRBC11－
+)1 =ABCA ① Ra + Rb = (
RAB+RBC+RCARABRAC+RBC
同样，ac间和bc间，也有：
RR+RBCRCA11－
Ra + Rc = (+)1 =ABCA ②
RCARAB+RBCRAB+RBC+RCARb + Rc = (
RR+RBCRCA11－
+)1 =ABBC ③ RBCRAB+RCARAB+RBC+RCA
RABRCA
RAB+RBC+RCA
将①+②－③得：Ra =
再通过①－②＋③和③+②－①，并整理，就得到Rb和RC的表达式——
RABRBCRBCRCA
，Rc = Rb =
RAB+RBC+RCARAB+RBC+RCA下面利用以上结果求图4—12甲中P和Q两点之间的电阻。
4—12甲 4—12乙 4—12丙
用星形接法代替三角形接法，可得图4—12乙所示电路，PRQS回路是一个平衡的惠斯登电桥，所以在RS之间无电流，因此它与图4—12丙所示电路是等效的。因此PQ之间的总电阻RPQ可通过这三个并联电阻求和得到。所以：
RPQ = (
111－
++)1 = 4? 36186
例14：如图4—13所示，放在磁感应强度B = 0.6T的匀强磁场中的长方形金属线框abcd ，框平面与磁感应强度方向垂直，其中ab和bc各是一段粗细均匀的电阻丝Rab = 5? ，Rbc = 3? ，线框其余部分电阻忽略不计。现让导体EF搁置在ab 、cd边上，其有效长度L = 0.5m ，且与ab垂直，阻值REF = 1? ，并使其从金属框ad端以恒定的速度V 4
= 10m/s向右滑动，当EF滑过ab长的距离时，问流过aE端的电流
5
图4—13
多大？
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4
解析：EF向右运动时，产生感应电动势ε ，当EF滑过ab长的时，电路图可等效为
5
如图4—13甲所示的电路。
根据题设可以求出EF产生的感应电动势ε ε = BLV = 0.6×0.5×10 = 3.0V RaE = 4? ，REb = 1? ，Rbc = 3?
则电路此时电源内阻为导体EF的电阻，r = REF = 1? ，
中的总电阻为：
R?(REb+Rbc)
= 3? R = r +aE
RaE+(REb+Rbc)
电路中的总电流为：I =
ε
= 1.0A R
图4—13甲
∴通过aE的电流为：IaE = 0.5A
例15：有一薄平凹透镜，凹面半径为0.5m ，玻璃的折射率为1.5 ，且在平面上镀一层反射层，如图4—14所示，在此系统的左侧主轴上放一物S ，S距系统1.5m ，问S成像于何处？
解析：本题可等效为物点S先经薄平凹透镜成像，其像为平面镜的物，平面镜对物成像又为薄平凹透镜成像的物，根据成像规律，逐次求出最终像的位置。
根据以上分析，首先考虑物S经平凹透镜的成像S′，
111
根据公式+=
P1′Pf1
其中
11111－
= (n－1)(－) = (1.5－1)(－) =－1m1 f1R2?0.5∞R11
+=－1 ，P1′=－0.6m P1′1.5
图4—14
故有：
成像在左侧，为虚像，该虚像再经平凹透镜成像S″后，其像距为： P2′=－P2 =－P1′= 0.6m
成像在右侧，为虚像，该虚像再经平凹透镜成像S′′′，有： 1111－
+=，其中P3 =P2′= 0.6m ，=－1m1 P3P3′ff故：
11
+=－1 ，解得：P3′=－0.375m P3′0.6
即成虚像于系统右侧0.375m处。 （此题还可用假设法求解。）
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针对训练
1．半径为R的金属球与大地相连，距球心L处有一带电量为+q的点电荷如图4—15所示。试求：
（1）球上感应电荷的总电量； （2）q受到的库仑力。
2．如图4—16所示，设R1 = 40? ，R2 = 80? ，R3 = 5? ，R4 = 10? ，R5 = 40? ，R6 = 99? ，R7 = 101? ，R8 = 20? ，求AB之间的电阻。
图4—15
图4—16 图4—17 图4—18
3．电路如图4—17所示，R1 = R3 = R4 = R5 = 3?时，R2 = 1? ，求AB间的等效电阻。
4．有9个电阻联成如图4—18电路，图中数字的单位是? ，求PQ两点间的等效电阻。
5．如图4—19所示电路，求AB两点间的等效电阻。
图4—19 图4—20
6．如图4—20所示，由5个电阻联成的网络，试求AB两点间的等效电阻。
7．由7个阻值均为r的电阻组成的网络元如图4—21甲所示。由这种网络元彼此连接形成的无限梯形网络如图4—21乙所示。试求P 、Q两点之间的等效电阻。
图4—21甲
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图4—21乙
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8．图4—22表示一交流电的电流随时间而变化的图像，此交流电流有效值是（ ） A、52A B、5A C、3.52A D、3.5A
图4—22 图4—23 图4—24
9．磁流体发电机的示意图如图4—23所示，横截面为距形的管道长为L ，宽为a ，高为b ，上下两个侧面是绝缘体，相距为a的两个侧面是电阻可忽略的导体，此两导体侧面与负载电阻RL相连。整个管道放在一个匀强磁场中，磁感应强度的大小为B ，方向垂直于上下侧面向上。 现有电离气体（正、负带电粒子）持续稳定的流经管道，为了使问题简化，设横截面上各点流速相同。 已知流速与电离气体所受的压力成正比；且无论有无磁场存在时，都维持管道两端电离气体的压强差皆为p 。 设无磁场存在时电离气体的流速为v0 。 求有磁场存在时流体发电机的电动势的大小ε 。 已知电离气体的平均电阻率为ρ 。
10．一匀质细导线圆环，总电阻为R ，半径为a ，圆环内充满方向垂直于环面的匀强磁场，磁场以速率K均匀地随时间增强，环上的A 、D 、C三点位置对称。 电流计G连接A 、C两点，如图4—24所示，若电流计内阻为RG ，求通过电流计的电流大小。
11．固定在匀强磁场中的正方形导线框abcd ，各边长为L1 ，其中ab是一端电阻为R的均匀电阻丝，其余三边均为电阻可忽略的铜线，磁场的磁感应强度为B ，方向垂直纸面向里，现有一与ab段的材料、粗细、长度都相同的电阻丝PQ架在导线框上，如图4—25所示，以恒定1
的速度v从ad滑向bc ，当PQ滑过L的距离时，通过aP段电阻丝的
3
电流是多大？方向如何？
图4—25
12．如图4—26所示，一根长的薄导体平板沿x轴放置，板面位于
水平位置，板的宽度为L ，电阻可忽略不计，aebcfd是圆弧形均匀导线，其电阻为3R ，圆弧所在的平面与x轴垂直，圆弧的两端a和d与导体板的两个侧面相接解，并可在其上11
圆弧bc =圆周长，滑动。 圆弧ae = eb = cf = fd =圆周长，
84
一内阻Rg = nR的体积很小的电压表位于圆弧的圆心O处，
电压表的两端分别用电阻可以忽略的直导线与b和c点相连，整个装置处在磁感应强度为B、方向竖直向上的匀强磁场中。 当导体板不动而圆弧导线与电压表一起以恒定的速度v沿x轴方向平移运动时：
（1）求电压表的读数；
。 （2）求e点与f点的电势差（Ue－Rf）
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图4—26
高中物理奥赛方法（清晰版）
