第五章 大数定理和中心极限定理
1．[一] 据以往经验某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布，现在随机的抽取16只，设它们的寿命是相互独立的，求这16只元件寿命总和大于1920小时的概率。
解：设第i只寿命为Xi，（1≤i≤16），故E (Xi )=100，D (Xi )=100(l=1,2,…,16).依本章定理1知
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P(?i?1???Xi?1920)?P????
?????Xi?1600?1920?1600?i?0??P??16?10016?100??????16?i?016??Xi?1600??0.8?
400??? ??(0.8)?0.7881.
从而P(?Xi?116i?1920)?1?P(?Xi?116i?1920)?1?0.7881?0.2119.
3．[三] 计算机在进行加法时，对每个加数取整（取为最接近它的整数），设所有的取整误差是相互独立的，且它们都在（－0.5，0.5）上服从均匀分布，
（1）若将1500个数相加，问误差总和的绝对值超过15的概率是多少？ （2）几个数相加在一起使得误差总和的绝对值小于10的概率不小于0.90 解：
（1）设取整误差为Xi（i?1,2,?，1500），它们都在（－0.5, 0.5）上服从均匀分布。
于是： E(Xi)?p??0.5?0.5?0 2[0.5?(?0.5)]21 D(Xi)? ?1212 nE(Xi)?0,nD(Xi)?1500?1?125?11.18 1215001500????????P?Xi?15??1?P?Xi?15??i?0?????i?1? ???1500???1?P??15?Xi?15?i?1???1500??X?i?15???15?i?1 ?1?P????11.1811.1811.18??????
?1?[?(1.34)??(?1.34)]
?2[1??(1.34)]?2?[1?0.9099]?0.18028．某药厂断言，该厂生产的某种药品对于医治一种疑难的血液病的治愈率为0.8，医院检验员任意抽查100个服用此药品的病人，如果其中多于75人治愈，就接受这一断言，否则就拒绝这一断言。（1）若实际上此药品对这种疾病的治愈率是0.8，问接受这一断言的概率是多少？（2）若实际上此药品对这种疾病的治愈率是0.7，问接受这一断言的概率是多少？
解：设X为100人中治愈的人数，则X～B (n, p)其中n=100
?75?np?X?np75?np??（1）P(X?75)?1?P(X?75)?1?P???1??() ?npq?npq??npq? ?1??(?55)??(?)?0.8944 44（2）p=0.7由中心极限定理知
?75?np?X?np75?np??P(X?75)?1?P(X?75)?1?P???1??() ?npq?npq??npq? ?1??(5)?1??(1.09)?1?0.8621?0.1379. 217．[七] 一复杂的系统，由100个互相独立起作用的部件所组成。在整个运行期间每个部件损坏的概率为0.10。为了整个系统起作用至少必需有85个部件工作。求整个系统工作的概率。
（2）一个复杂的系统，由n个互相独立起作用的部件所组成，每个部件的可靠性（即部件工作的概率）为0.90。且必须至少有80%部件工作才能使整个系统工作，问n至少为多少才能使系统的可靠性不低于0.95。
解：（1）设每个部件为Xi (i=1,2,……100)
?1Xi???0部件工作部件损坏不工作
设X是100个相互独立，服从（0－1）分布的随机变量Xi之和
X=X1+ X2+……+ X100
由题设知
n=100 P {Xi=1}=p=0.9, P {Xi=0}=0.1 E (Xi ) =p=0.9
D (Xi ) =p (1－p)=0.9×0.1=0.09
n·E (Xi ) =100×0.9=90, n D (Xi ) =100×0.09=9 ??100??X?nE(Xi)85?nE(Xi)??P?Xi?85??P???nD(X)nD(X)???i?1?ii???
?X?9085?90??X?90??5? ?=P???P??3??399??
X?905=1?P??????
3??3由中心极限定理知
?1???53??1e2π?t22dt
?1??(?5) 查标准正态分布表 3=φ(1.67) =0.9525
解：（2）设每个部件为Xi (i=1,2,……n)
?1Xi???0部件工作部件损坏不工作
P {Xi=1}=p=0.9, P {Xi=0}=1－p=0.1 E (Xi ) =p=0.9,
由问题知
D (Xi ) =0.9×0.1=0.09
?n80?P?Xi?n??0.95 求n=?
100?i?1??而
?n80?P?Xi?n?
100?i?1??
????P???????=P??????80n?np??i?1?100?
nD(Xi)nD(Xi)???Xi?npn?
?80Xi?0.9nn?0.9n??i?1?100?
0.3n0.3n???n
?n?80X?0.9nn?0.9n??i??i?1?100=1－P???由中心极限定理知
0.3n??0.3n??????0.1n=1?????0.3n??0.1n????????0.3n????0.95?
查标准正态分布表得解得n≥24.35
0.1n?1.645
0.3n取n=25，即n至少为25才能使系统可靠性为0.95.
[八] 随机地取两组学生，每组80人，分别在两个实验室里测量某种化合物的PH值，各人测量的结果是随机变量，它们相互独立，且服从同一分布，其数学期望为5，方差为0.3，以X,Y分别表示第一组和第二组所得结果的算术平均：
（1）求P {4.9 ?XU?i?180i?80?5～N (0,1) V??Yj?180j?80?5～N (0,1) 80?0.380?0.3???4.9?80?80?5（1）P{4.9?X?5.1}?P??80?0.3??????? P??1.63??????i?180Xi?80?580?0.3??5.1?80?80?5??? 80?0.3????Xi?80?5??i?1??1.63??2?(1.63)?1?2?0.9484?1?0.8968 ?24????80（2）由Xi , Yj的相互独立性知于是U－V～N (0, 2) ?X与?Yii?1j?18080j独立。从而U，V独立。 ?X??Yi8080j而Z?U?V?i?1j?124 8080????0.1?80P{?0.1?X?Y?0.1}?P???80?0.3???i?1Xi??j?1Yj80?0.3??0.1?80??? 80?0.3????1.63??1.63?????? ?P{?1.63?Z?1.63}?????????2?(1.15)?1 2??2?? =2×0.8749－1=0.7498 [九] 某种电子器件的寿命（小时）具有数学期望μ（未知），方差σ=400 为了估计 2 μ，随机地取几只这种器件，在时刻t=0投入测试（设测试是相互独立的）直到失败， 1测得其寿命X1，…，Xn，以X?n为多少？ ?Xi?1ni作为μ的估计，为使P{|X?μ|}?0.95,问n至少 解：由中心极限定理知，当n很大时 ?X i?1ni?nμ2nσ?nX?nμnσ2~N(0,1) ??n??????2???nσ????????????? ?????nnX?nμP{|X?μ|?1}?P???22?nσ?nσ =2???nnσ2nnσ2?n????1?0.95 20???n????0.975 20?? 所以??? 查标准正态分布表知 n?1.96 20n?1536.64即n至少取1537。 （注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）
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