母题突破4 探索性问题
母题 已知椭圆C：9x2＋y2＝m2(m>0)，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.
(1)证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；
m
，m?，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不(2)若l过点??3?能，说明理由． ?2?思路分析
?假设四边形OAPB能为平行四边形 ↓
?线段AB与线段OP互相平分 ↓
?计算此时直线l的斜率 ↓ ?下结论
(1)证明 设直线l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)， A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)． 将y＝kx＋b代入9x2＋y2＝m2得 (k2＋9)x2＋2kbx＋b2－m2＝0，
x1＋x2－kb9b
故xM＝＝2，yM＝kxM＋b＝2.
2k＋9k＋9yM9
于是直线OM的斜率kOM＝＝－，即kOM·k＝－9.
xMk所以直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值． (2)解 四边形OAPB能为平行四边形．
m
，m?，所以l不过原点且与C有两个交点的充要条件是k>0，k≠3. 因为直线l过点??3?9
由(1)得OM的方程为y＝－x.
k设点P的横坐标为xP，
9??y＝－kx，k2m2±km2
由?得xP＝2，即xP＝.
29k＋813k＋9??9x2＋y2＝m2m?3－k?m
，m?的坐标代入直线l的方程得b＝将点?， ?3?3
k?k－3?m
因此xM＝2. 3?k＋9?
四边形OAPB为平行四边形，当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即xP＝2xM. 于是
3
±km
k?k－3?m
＝2×2， 23?k＋9?k＋9
解得k1＝4－7，k2＝4＋7.
因为ki>0，ki≠3，i＝1,2，所以当直线l的斜率为4－7或4＋7时，四边形OAPB为平行四边形． x22
[子题1] 已知椭圆C：＋y＝1的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为A1，A2.
4(1)若M为C上任意一点，求|MF1|·|MF2|的最大值；
(2)椭圆C上是否存在点P(异于点A1，A2)，使得直线PA1，PA2与直线x＝4分别交于点E，F，且|EF|＝1？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 解 (1)由椭圆的定义可知|MF1|＋|MF2|＝4， ∴|MF1|·|MF2|≤?
?|MF1|＋|MF2|?2
?＝4， 2??
当且仅当|MF1|＝|MF2|＝2时等号成立， ∴|MF1|·|MF2|的最大值为4. (2)假设存在满足题意的点P. 不妨设P(x0，y0)(y0>0)，则－2 由题意知直线PA1的方程为y＝(x＋2)， x0＋26y0 令x＝4，得yE＝， x0＋2 y0 直线PA2的方程为y＝(x－2)， x0－2令x＝4，得yF＝ 2y0 ， x0－2 6y02y04x0y0－16y04y0?x0－4?4－x0 由|EF|＝yE－yF＝－＝＝＝＝1，得x0＝4－y0， 2y0x0＋2x0－2x2－4－4y00 22由x20＋4y0＝4，得5y0－8y0＋12＝0， ∵Δ＝－176<0，∴此方程无解． 故不存在满足题意的点P. [子题2] (2020·合肥适应性检测)已知抛物线C：y2＝4x，过点(2,0)作直线l与抛物线C交于M，N两点，在x轴上 是否存在一点A，使得x轴平分∠MAN？若存在，求出点A的坐标；若不存在，请说明理由． 解 ①当直线l的斜率不存在时，由抛物线的对称性可知x轴上任意一点A(不与点(2,0)重合)，都可使得x轴平分∠MAN； ②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x－2)(k≠0)， ??y＝k?x－2?， 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立方程? 2??y＝4x， 消去y得k2x2－(4k2＋4)x＋4k2＝0， 显然Δ>0， 4k2＋4 ∴x1＋x2＝2，x1x2＝4，(*) k 假设在x轴上存在一点A(a,0)，使得x轴平分∠MAN， y1y2 ∴kAM＋kAN＝0，∴＋＝0， x1－ax2－ay1?x2－a?＋y2?x1－a?∴＝0， ?x1－a??x2－a?又y1＝k(x1－2)，y2＝k(x2－2)， ∴ 2x1x2－?a＋2??x1＋x2?＋4a ＝0， 2 x1x2－a?x1＋x2?＋a 把(*)式代入上式化简得4a＝－8， ∴a＝－2，∴点A(－2,0)， 综上所述，在x轴上存在一点A(－2,0)，使得x轴平分∠MAN. 规律方法 探索性问题的求解策略 (1)若给出问题的一些特殊关系，要探索一般规律，并能证明所得规律的正确性，通常要对已知关系进行观察、比较、分析，然后概括一般规律． (2)若只给出条件，求“不存在”“是否存在”等语句表述问题时，一般先对结论给出肯定的假设，然后由假设出发，结合已知条件进行推理，从而得出结论． 跟踪演练 x22 1．已知椭圆G：＋y＝1，点B(0,1)，点A为椭圆G的右顶点，过原点O的直线l与椭圆G交于P，Q两点(点Q 4在第一象限)，且与线段AB交于点M.是否存在直线l，使得△BOP的面积是△BMQ的面积的3倍？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由． 解 设Q(x0，y0)，则P(－x0，－y0)， 可知0 假设存在直线l，使得△BOP的面积是△BMQ的面积的3倍，则|OP|＝3|MQ|，即|OQ|＝3|MQ|， 2222→2→x0，y0?，得M?x0，y0?. 即OM＝OQ＝?3?3??3?33又A(2,0)，∴直线AB的方程为x＋2y－2＝0. 24 ∵点M在线段AB上，∴x0＋y0－2＝0， 33整理得x0＝3－2y0，① x20 ∵点Q在椭圆G上，∴＋y20＝1，② 4把①式代入②式可得8y20－12y0＋5＝0， ∵判别式Δ＝(－12)2－4×8×5＝－16<0， ∴该方程无解． ∴不存在直线l，使得△BOP的面积是△BMQ的面积的3倍． x2y22．(2020·滁州模拟)已知椭圆E：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，是否存在斜率为－1的直线l与以线段F1F2 43为直径的圆相交于A，B两点，与椭圆E相交于C，D两点，且|CD|·|AB|＝不存在，说明理由． 解 假设存在斜率为－1的直线l，设为y＝－x＋m， 由题意知，F1(－1,0)，F2(1,0)， 所以以线段F1F2为直径的圆为x2＋y2＝1， |－m|由题意，圆心(0,0)到直线l的距离d＝<1，得|m|<2， 2|AB|＝22 2 1213 ？若存在，求出直线l的方程；若7 1－d2＝2m21－＝2×2 2－m2， xy??4＋3＝1，由?消去y，整理得 ??y＝－x＋m7x2－8mx＋4m2－12＝0. 由题意，Δ＝(－8m)2－4×7×(4m2－12)＝336－48m2＝48(7－m2)>0， 解得m2<7， 又|m|<2，所以m2<2. 设C(x1，y1)，D(x2，y2)， 4m2－128m 则x1＋x2＝，x1x2＝， 77|CD|＝46 1＋k2|x2－x1|＝2×7－m2 ， 7 1213 ， 7 7－m2＝ 1213 ， 7336－48m2 7 ＝ 若|CD|·|AB|＝则2× 46 2－m2×× 7 整理得4m4－36m2＋17＝0， 117 解得m2＝或m2＝. 22 12 又m2<2，所以m2＝，即m＝±. 22故存在符合条件的直线l，其方程为 y＝－x＋ 22 或y＝－x－. 22 专题强化练 x2y2 1. (2020·广州模拟)如图，已知椭圆C：＋＝1.过点P(0,1)的动直线l(直线l的斜率存在)与椭圆C相交于A，B两 42点，问在y轴上是否存在与点P不同的定点Q，使得请说明理由． |QA|S△APQ ＝恒成立？若存在，求出定点Q的坐标；若不存在，|QB|S△BPQ |QA|S△APQ 解 假设在y轴上存在与点P不同的定点Q，使得＝恒成立． |QB|S△BPQ 设Q(0，m)(m≠1)，A(x1，y1)， B(x2，y2)，直线l的方程为y＝kx＋1，
2021年新高考数学二轮复习 专题六 第3讲 母题突破4 探索性问题 教师 - 图文
