构造函数法解决导数不等式问题
在函数中解决抽象函数问题首要的前提是对函数四种基本性质的熟练掌握，导数是函数单调性的延伸，如果把题目中直接给出的增减性换成一个f'(x)，则单调性就变的相当隐晦了，另外在导数中的抽象函数不等式问题中，我们要研究的往往不是f(x)本身的单调性，而是包含f(x)的一个新函数的单调性，因此构造函数变的相当重要，另外题目中若给出的是
f(x)f'(x)的形式，则我们要构造的则是一个包含
的新函数，因为只有这个新函数求导之后才会出现
f'(x)，因此解决导数抽象函数不等式的重中之重是构造函
数。
例如：f'(x)?0，则我们知道原函数f(x)是单调递增的，若f'(x)?1?0，我们知道g(x)?f(x)?x这个函数是单调递增的，因此构造函数的过程有点类似于积分求原函数的过程，只不过构造出的新函数要通过题目中给出的条件能判断出单调性才可。
既然是找原函数，那么就可能遇上找不到式子的原函数的时候，但是我们判断单调性只需要判断导函数的正负即可，例如g(x)的原函数是不能准确的找到的，但是如果我们知道一个式子的导函数里面包含g(x)，则也能大致将那个函数看成是原函数，例如m'(x)?g(x)，或者m(x)的导函数中包
x含一个能判断符号的式子和g(x)相乘或相除的形式，我们也可以将m(x)大致看成g(x)的原函数。
构造函数模型总结： 关系式为“加”型：
（1）f'(x)?f(x)?0 构造[exf(x)]'?ex[f'(x)?f(x)] （2）xf'(x)?f(x)?0 构造[xf(x)]'?xf'(x)?f(x) （
3
）
xf'(x)?nf(x)?0构造
[xnf(x)]'?xnf'(x)?nxn?1f(x)?xn?1[xf'(x)?nf(x)]
（注意对x的符号进行讨论）
关系式为“减”型 （1）
f(x)'f'(x)ex?f(x)exf'(x)?f(x)?f(x)?f(x)?0 构造[x]? x2xe(e)e''f(x)'xf'(x)?f(x)]?（2）xf(x)?f(x)?0 构造[ xx2f(x)'xnf'(x)?nxn?1f(x)xf'(x)?nf(x)?（3）xf(x)?nf(x)?0构造[n]? n2n?1x(x)x'（注意对x的符号进行讨论）
g'(x)分别是f(x),g(x)的例1.设f(x),g(x)是R上的可导函数，f'(x)，导函数，且满足f'(x)g(x)?f(x)g'(x)?0，则当a?x?b时，有（ ）
A.f(a)g(b)?f(b)g(a) B.f(a)g(a)?f(a)g(b) C.f(a)g(a)?f(b)g(b) D.f(a)g(a)?f(b)g(a)
解析：因为
f'(x)g(x)?f(x)g'(x)?0不等式左边的原函数为
f(x)g(x)，因此需要构造新函数，令h(x)?f(x)g(x)，可知
h'(x)?0，则函数h(x)是单调递减函数，因此当a?x?b，
有h(a)?h(b)即答案选C。 变式：设
f(x),g(x)是R上的可导函数，f'(x)g(x)?f(x)g'(x)?0，
g(?3)?0，求不等式f(x)g(x)?0的解集。
解析：同上题f'(x)g(x)?f(x)g'(x)的原函数为f(x)g(x)，构造新函
数h(x)?f(x)g(x)可知h'(x)?0，h(x)单调递减，又因为
g(?3)?0即h(?3)?0，所以f(x)g(x)?0的解集是(?3,??)
例2.已知定义为R的奇函数
时，
f'(x)?f(x)的导函数为
f'(x)，当x?0f(x)111?0，若a?f(),b??2f(?2),c?lnf(ln2)，则x222下列关于a,b,c的大小关系正确的是（ ）
Aa.?b?c B.a?c?b C.c?b?a Db.?a?c
解析：着眼点是
xf'(x)?f(x)f(x)?0，则试图找出不f(x)??0，
xx'等式左边这部分的原函数或者某个函数的导函数的一部分是不等式左边，设h(x)?xf(x)，则h'(x)?xf'(x)?f(x)，当
x?0时
xf'(x)?f(x)?0x，
h'(x)?0，当
x?0时，
xf'(x)?f(x)?0，h'(x)?0，因此h(x)?xf(x)是左减右增的函x数，因此b??2f(?2)?c?ln1f(ln2)?a?1f(1)
222例3.已知函数f(x)为定义在R上的可导函数，且f(x)?f'(x)对
于任意x?R恒成立，e为自然对数的底数，则（ ）
A.f(1)?e?f(0)、f(2013)?e2013?f(0) B.f(1)?e?f(0)、f(2013)?e2013?f(0) C.f(1)?e?f(0)、f(2013)?e2013?f(0) D.f(1)?e?f(0)、f(2013)?e2013?f(0)
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