第八章 二次型
二次型理论起源于解析几何中的化二次曲线和二次曲面方程为标准形的问题，这一理论在数理统计、物理、力学及现代控制理论等诸多领域都有很重要的应用. 本章主要介绍二次型的基本概念,讨论化二次型为标准形及正定二次型的判定等问题.
§8.1 二次型及其矩阵表示
在解析几何中,我们曾经学过二次曲线及二次曲面的分类,以平面二次曲线为例,一条二次曲线可以由一个二元二次方程给出：
ax?bxy?cy?dx?ey?f?0 (1.1) 要区分(1.1)式是哪一种曲线(椭圆、双曲线、抛物线或其退化形式),我们通常分两步来做:首先将坐标轴旋转一个角度以消去xy项, 再作坐标的平移以消去一次项. 这里的关键是消去
22xy项,通常的坐标变换公式为:
?x?x?cos??y?sin? ? (1.2)
??y?xsin??ycos??从线性空间与线性变换的角度看,(1.2)式表示平面上的一个线性变换.因此二次曲线分类的关键是给出一个线性变换,使(1.1)式中的二次项只含有平方项.这种情形也在空间二次曲面的分类时出现,类似的问题在数学的其它分支、物理、力学中也会遇到. 为了讨论问题的方便,只考虑二次齐次多项式.
定义8.1.1 设f是数域P上的n元二次齐次多项式:
f(x1,x2,,xn)?a11x12?2a12x1x2??a22x22?2a23x2x3???2a1nx1xn?2a2nx2xn (1.3)
22?an?1,n?1xn?1?2an?1,nxn?1xn?annxn称为数域P上的n元二次型,简称二次型. 如果数域P为实数域R,则称f为实二次型; 如果数域P为复数域C,则称f为复二次型; 如果二次型中只含有平方项,即
f(x1,x2,,xn)?d1x12?d2x22??dnxn2
称为标准形式的二次型,简称为标准形.
说明: 在这个定义中,非平方项系数用2aij主要是为了以后矩阵表示的方便. 例8.1.2 下列多项式都是二次型:
f(x,y)?x2?3xy?3y2f(x,y,z)?2x?2xy?3xz?y?4yz?3z下列多项式都不是二次型:
222
f(x,y)?x2?3xy?3y2?2x?1f(x,y,z)?2x?2xy?4yz?3z?1定义8.1.3 设x1,x2,32
,xn;y1,y2,,yn是两组文字,系数在数域P中的一组关系式
?x1?c11y1?c12y2??c1nyn?x?cy?cy??cy?22112222nn ? (1.4)
???xn?cn1y1?cn2y2??cnnyn称为由x1,x2,,xn到y1,y2,,yn的一个线性替换,或简称线性替换. 如果系数行列式
cij?0,那么线性替换(1.4)就称为非退化的.
在研究二次型时,矩阵是一个有力工具,因此我们先把二次型用矩阵来表示. 令 aij?aji, 则有 2aijxixj?aijxixj?ajixjxi, 于是(1.3)式可以改写为
f(x1,x2,,xn)?a11x12?a12x1x2??a21x2x1?a22x22???x1(a11x1?a12x2??x2(a21x1?a22x2???a1nx1xn?a2nx2xn?annxn2?a1nxn)?a2nxn)?annxn)?an1xnx1?an2xnx2??xn(an1x1?an2x2??a11x1?a12x2??a1nxn???ax?ax??ax2nn??(x1,x2,,xn)?211222????ax?ax??axnnn??n11n22
a1n??x1??a11a12????aaa21222n??x2??(x1,x2,,xn)?????????aaann??xn??n1n2?a11a12?a21a22记 A?????an1an2Ta1n??x1????a2n?x,x??2? ??????ann??xn?则二次型可记为 f?xAx, (1.5) 其中A是对称矩阵. 称(1.5)式为二次型的矩阵形式.
222例8.1.4 二次型 f(x,y,z)?2x?2xy?3xz?y?4yz?3z的矩阵形式为
?2?f(x,y,z)?(x,y,z)?1?3??211??x??????y? ???2?3??z??322说明: 任给一个二次型就唯一地确定一个对称矩阵. 反之,任给一个对称矩阵可唯一地确定一个二次型. 因此, 二次型与对称矩阵之间有着一一对应的关系. 把对称矩阵A称为二次型
f的矩阵,也把f称为对称矩阵A的二次型. 称对称矩阵A的秩为二次型的秩.
例8.1.5 给定对称矩阵
?12?1?3???223?1? A????1330????3?104??则其对应的二次型为:
2f(x1,x2,x3,x4)?x12?4x1x2?2x1x3?6x1x4?2x22?6x2x3?2x2x4?3x3?4x42
对于二次型f?xAx,作线性替换x?Cy,其中
T?c11c12?c21c22?C????cn1cn2TTTTc1n??y1????c2n?y2?? ,y???????cnn??yn?TT则 f?xAx?(Cy)A(Cy)?yCACy?y(CAC)y
T令 B?CAC, 则有B?(CAC)?CA(C)?CAC?B,即B是对称矩阵.这
TTTTTTTT样, 对称矩阵B同样定义了一个二次型. 于是, 线性替换将二次型化为二次型. 定义8.1.6 设A,B是数域P上的n阶方阵,如果有数域P上的n阶可逆矩阵C,使得
CTAC?B
则称矩阵A与B合同, 记作AB.
合同是矩阵之间的一个关系.易知,合同关系具有: (1) 反身性: 即A与A合同，因为A?EAE;
T(2) 对称性: 即若A与B合同，则B与A合同，因为由B?CAC,即得A?(C)BC?1T?1T;
T(3) 传递性: 即若A与B合同，B与C合同，则A与C合同，由B?C1AC1和
C?C2TBC2,即得C?C2TBC2?(C1C2)TA(C1C2).
说明: 经过非退化的线性替换,新二次型的矩阵与原二次型的矩阵是合同的. 这样, 我们就把二次型的变换通过矩阵表示出来,为以后的讨论提供了有力的工具.另外， 在二次型变换时,
我们总是要求所作的线性替换是非退化的, 因为这样我们可以把所得的二次型还原. 定理8.1.7 若A与B合同,则rankA?rankB.
证明: 因为A与B合同,所以存在n阶可逆矩阵C,使得
CTAC?B
由于可逆矩阵乘以矩阵两边不改变矩阵的秩,故rankA?rankB.
说明: 这个定理给我们化二次型为标准形提供了保证. 这样,若B是对角矩阵,则非退化的线性替换x?Cy就把二次型化为了标准形. 因此, 把二次型化为标准形的问题其实质是: 对于对称矩阵A,寻找可逆矩阵C,使得CAC?B为对角矩阵.
T§8.2 化二次型为标准形
现在来讨论用非退化的线性替换化简二次型的问题. 1 配方法
定理8.2.1 数域P上任意一个二次型都可以经过非退化的线性替换化为标准形,即只含有平方项.
证明: 对变量的个数n作数学归纳法.
2对于n?1,二次型就是f(x1)?a11x1, 显然已经是平方项了. 现假定对n?1元的二次型,定
理的结论成立.再设 f(x1,x2,分三种情形来讨论: (1) aii(i?1,2,,xn)???aijxixj(aij?aji)
i?1j?1nn,n)中至少有一个不为零,例如a11?0,这时
2111nnnnf(x1,x2,2111,xn)?ax??a1jx1xj??ai1xix1???aijxixjj?2ni?2i?2j?2nn?ax?2?a1jx1xj???aijxixjj?2i?2j?2?1?1?a11(x1??a11a1jxj)2?a11(?a1jxj)2???aijxixjj?2nj?2i?2j?2nnnn
?a11(x1??aaxj)???bijxixj?1111j2j?2nnni?2j?2n这里
??bxxijii?2j?2nj??a(?a1jxj)???aijxixj
?1112j?2i?2j?2nn是一个关于x2,x3,,xn的二次型.令
n??1y?x?aa1jxj?1111?j?2?? ?y2?x2????yn?xn即
n??1?x1?y1??a11a1jyjj?2?? ?x2?y2????xn?yn这是一个非退化线性替换,它使
f(x1,x2,,xn)?a11y1???bijyiyj
2i?2j?2nn由归纳法假定,对
??byyijii?2j?2nnj有非退化的线性替换
?z2?c22y2?c23y3??z?cy?cy??3322333????zn?cn2y2?cn3y3?能使它变成平方和
?c2nyn?c3nyn?cnnyn
d2z22?d3z32?于是非退化线性替换
?dnzn2
?z1?y1?z?cy?cy??2222233????zn?cn2y2?cn3y3?就使f(x1,x2,?c2nyn?cnnyn
,xn)变成
f(x1,x2,,xn)?a11z12?d2z22?d3z32??dnzn2
即变成平方和了.根据归纳法原理,定理得证. (2) 所有aii(i?1,2,,n)都等于零,但是至少有一个a1j?0(j?2,3,,n),不失普遍性, 设
二次型理论起源于解析几何中的化二次曲线和二次曲面方.
