4．1 平面向量的坐标表示
4．2 平面向量线性运算的坐标表示
学习目标 1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示.2.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则.3.正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来．
知识点一 平面向量的正交分解
思考 如果向量a与b的夹角是90°，则称向量a与b垂直，记作a⊥b.互相垂直的两个向量能否作为平面内所有向量的一组基底？
梳理 把一个向量分解为________________的向量，叫作把向量正交分解． 知识点二 平面向量的坐标表示
思考1 如图，向量i，j是两个互相垂直的单位向量，向量a与i的夹角是30°，且|a|＝4，以向量i，j为基底，如何表示向量a?
思考2 在平面直角坐标系内，给定点A的坐标为A(1,1)，则A点位置确定了吗？给定向量
a的坐标为a＝(1,1)，则向量a的位置确定了吗？
→→→→
思考3 设向量BC＝(1,1)，O为坐标原点，若将向量BC平移到OA，则OA的坐标是多少？A点坐标是多少？
梳理 (1)平面向量的坐标
①在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个____________i、j作为基底．对于平面内的任意向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋
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yj.我们把实数对(x，y)叫作向量a的坐标，记作a＝(x，y)．
②在平面直角坐标平面中，i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0)． (2)点的坐标与向量坐标的区别和联系
表示形式区 别 不同 向量a＝(x，y)中间用等号连接，而点A(x，y)中间没有等号 点A(x，y)的坐标(x，y)表示点A在平面直角坐标系中意义 的位置，a＝(x，y)的坐标(x，y)既表示向量的大小，不同 也表示向量的方向．另外(x，y)既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点(x，y)或向量(x，y) 联系
知识点三 平面向量的坐标运算
思考 设i、j是分别与x轴、y轴同向的两个单位向量，若设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，根据向量的线性运算性质，向量a＋b，a－b，λa(λ∈R)如何分别用基底i、j表示？
梳理 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
当平面向量的始点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同 向量加、减法 数学公式 文字语言表述 向量和与差的坐标分别等于各向量相应坐标的和与差 实数与向量积的坐标分别等于实数与向量的相应坐标的乘积 一个向量的坐标等于其终点的坐标减去始点的相应坐标 a±b＝(x1±x2，y1±y2) λa＝(λx1，λy1) →向量数乘 向量坐标
AB＝(x2－x1，y2－y1)
类型一 平面向量的坐标表示
例1 如图，在平面直角坐标系xOy中，OA＝4，AB＝3， →→
∠AOx＝45°，∠OAB＝105°，OA＝a，AB＝b.
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四边形OABC为平行四边形． (1)求向量a，b的坐标； →
(2)求向量BA的坐标； (3)求点B的坐标．
反思与感悟 在表示点、向量的坐标时，可利用向量的相等、加减法运算等求坐标，也可以利用向量、点的坐标的定义求坐标．一般利用不等式思想求解，即把问题条件转化为关于参数的不等式(组)，再解不等式(组)就可以求得参数的取值范围．
跟踪训练1 已知边长为2的正三角形ABC，顶点A在坐标原点，AB边在x轴上，点C在第→→→→
一象限，D为AC的中点，分别求向量AB，AC，BC，BD的坐标．
类型二 平面向量的坐标运算
→→→
例2 已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设AB＝a，BC＝b，CA＝c. (1)求3a＋b－3c；
(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n的值．
反思与感悟 向量坐标运算的方法
(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行． (2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算． (3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行． 跟踪训练2 已知a＝(－1,2)，b＝(2,1)，求： 11
(1)2a＋3b；(2)a－3b；(3)a－b.
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高中数学第二章平面向量41平面向量的坐标表示42平面向量线性运算的坐标表示学案北师大版
