专题复习：平面向量
一、本章知识结构：
二、重点知识回顾
1.向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量,有二个要素：大小、方向.
2.向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母a、b等表示；③平面向量的坐标表示：分
?jyxia别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底。任作一个向量，由平面向量基??xi?yj(x,y)yxa本定理知，有且只有一对实数、，使得，叫做向量a的（直角）坐标，
记作a?(x,y)，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标， 特别地，
22i?(1,0)，j?(0,1)，0?(0,0)。a?x?y；若A(x1,y1)，B(x2,y2)，则
AB??x2?x1,y2?y1?，
AB?(x2?x1)2?(y2?y1)2 3.零向量、单位向量：①长度为0的向量叫零向量，记为0； ②长度为1个单位长度的向量，
a叫单位向量.（注：|a|就是单位向量）
4.平行向量：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.向量a、
b、c平行，记作a∥b∥c.共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量.
5.相等向量：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.
6.向量的加法、减法：
①求两个向量和的运算，叫做向量的加法。向量加法的三角形法则和平行四边形法则。②向量的减法向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差。即：a 差向量的意义： OA= a, OB=b, 则BA=a b
b= a+ (b)；
③平面向量的坐标运算：若
a?(x1,y1)，
b?(x2,y2)，则a?b?(x1?x2,y1?y2)，
a?b?(x1?x2,y1?y2)，?a?(?x,?y)。
④向量加法的交换律：a+b=b+a；向量加法的结合律：(a+b) +c=a+ (b+c)
??aa7．实数与向量的积：实数λ与向量的积是一个向量，记作：λ
???????aaaaaaa（1）|λ|=|λ|||；（2）λ>0时λ与方向相同；λ<0时λ与方向相反；λ=0时λ=0；
?????????（3）运算定律 λ(μa)=(λμ)a，(λ+μ)a=λa+μa，λ(a+b)=λa+λb
??ba8． 向量共线定理 向量与非零向量共线（也是平行）的充要条件是：有且只有一个非??ba零实数λ，使=λ。
9．平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内
??aa的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2使=λ1e1+λ2e2。(1)不共线向量e1、e2叫做
表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不惟一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向
??eeaa量在给出基底1、2的条件下进行分解；(4)基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被，
e1，e2唯一确定的数量。
10. 向量a和b的数量积：①a·b=| a|·|b|cos，其中∈[0，π]为a和b的夹角。②|b|cos称为b在a的方向上的投影。③a·b的几何意义是：b的长度|b|在a的方向上的投影的乘积，是一个实数（可正、可负、也可是零），而不是向量。
??④若a =（x1，y1）, b=（x2，y2）, 则a?b?x1x2?y1y2
⑤运算律：a· b=b·a, (λa)· b=a·(λb)=λ（a·b）， （a+b）·c=a·c+b·c。
a?b⑥a和b的夹角公式：cos=
x1x2?y1y2＝
2x1?y1?222x2?y2a?b
???2a⑦?a?a?|a|2=x2+y2，或|a|=
x?y?a222⑧| a·b |≤| a |·| b |。
11．两向量平行、垂直的充要条件 设a =（x1，y1）, b=（x2，y2） ①a⊥b?a·b=0 ，a?b?a?b=x1x2+y1y2=0；
???a//b0baa②（≠）充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使=λ。
a//b?x1y2?x2y1?0
向量的平行与垂直的坐标运算注意区别，在解题时容易混淆。
1P??PP2，1P2所成的比的?：1P2时, 12.点P分有向线段P PP内分线段P??0; P外分
1P2时, 线段P??0. 定比分点坐标公式、中点坐标公式、三角形重心公式：
?x?????y???x1??x2x1?x2?
x???1??2?
y1??y2x1?x2?x3y1?y2?y3?y?y1?y2
(,)1?? ????1? 、?2、 ?33
三、考点剖析
考点一：向量的概念、向量的基本定理
【内容解读】了解向量的实际背景，掌握向量、零向量、平行向量、共线向量、单位向量、相等向量等概念，理解向量的几何表示，掌握平面向量的基本定理。
注意对向量概念的理解，向量是可以自由移动的，平移后所得向量与原向量相同；两个向量无法比较大小，它们的模可比较大小。
如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a有且只有一对实数
?aλ1、λ2，使=λ1e1+λ2e2?.
注意：若e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，
【命题规律】有关向量概念和向量的基本定理的命题，主要以选择题或填空题为主，考查的
难度属中档类型。
例1、直角坐标系xOy中，i，j分别是与x，y轴正方向同向的单位向量．在直角三角形ABC????中，若AB?2i?j,AC?3i?kj，则k的可能值个数是（ ）
Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4
解：如图，将A放在坐标原点，则B点坐标为(2,1)，C点坐标为(3,k)，所以C点在直线x=3上，由图知，只可能A、B为直角，C不可能为直角．所以 k 的可能值个数是2，选B
点评：本题主要考查向量的坐标表示，采用数形结合法，巧妙求解，体现平面向量中的数形结合思想。
例2、如图，平面内有三个向量OA、OB、OC,其中与OA与OB的夹角为120°，
OA与OC的夹角为30°,且|OA|＝|OB|＝1，
|OC| ＝23，若OC＝λOA+μOB（λ，μ∈R）, 则λ+μ的值为 .
解：过C作OA与OC的平行线与它们的延长线相交，可得平行四边形，由角BOC=90°角AOC=30°，=23得平行四边形的边长为2和4，????2+4=6
点评：本题考查平面向量的基本定理，向量OC用向量OA与向量OB作为基底表示出来后，求相应的系数，也考查了平行四边形法则。 考点二：向量的运算
【内容解读】向量的运算要求掌握向量的加减法运算，会用平行四边形法则、三角形法则进行向量的加减运算；掌握实数与向量的积运算，理解两个向量共线的含义，会判断两个向量的平行关系；掌握向量的数量积的运算，体会平面向量的数量积与向量投影的关系，并理解其几何意义，掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量积的运算，能运用数量积表示两个向量的夹角，会用向量积判断两个平面向量的垂直关系。
【命题规律】命题形式主要以选择、填空题型出现，难度不大，考查重点为模和向量夹角的定义、夹角公式、向量的坐标运算，有时也会与其它内容相结合。 例3、设a=(1,-2),b=(-3,4),c=(3,2),则(a+2b)·c=（ ） A.(－15,12) B.0 C.－3 D.－11
解：(a+2b)(1,?2)?2(?3,4)?(?5,6)，(a+2b)·c ?(?5,6)?(3,2)??3，选C
点评：本题考查向量与实数的积，注意积的结果还是一个向量，向量的加法运算，结果也是一个向量，还考查了向量的数量积，结果是一个数字。
例4、已知平面向量a?(1,2),b?(?2,m)，且a∥b，则2a?3b=（ ） A．（-2，-4） B. （-3，-6） C. （-4，-8） D. （-5，-10） 解：由a∥b，得m＝－4，所以，
OC2a?3b＝（2，4）＋（－6，－12）＝（－4，－8），故选（C）。
点评：两个向量平行，其实是一个向量是另一个向量的?倍，也是共线向量，注意运算的公式，容易与向量垂直的坐标运算混淆。
例5、已知平面向量a=（1，－3），b=（4，－2），?a?b与a垂直，则?是（ ） A. －1 B. 1 解：由于∴
C. －2
D. 2
?a?b????4,?3??2?,a??1,?3?,?a?b?a???4??3??3??2??0，即10??10?0????1，选Ａ
点评：本题考查简单的向量运算及向量垂直的坐标运算，注意不要出现运算出错，因为这是一道基础题，要争取满分。
例6、在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F. 若AC?a, BD?b,则AF?（ ）
11a?b2 A．412a?b33 AO?解:
21a?b3 B. 311a?b4 C. 2D.
111aAD?AO?OD?a?b2,22,
AE?11?111?11(AO?AD)??a?b?a??a?b22?222?24,
由A、E、F三点共线,知AF??AE,??1
而满足此条件的选择支只有B，故选B.
点评：用三角形法则或平行四边形法则进行向量的加减法运算是向量运算的一个难点，体现数形结合的数学思想。
例7、已知向量a和b的夹角为120，
0|a|?1,|b|?3，则|5a?b|? ．
2解：
5a?b?5a?b2??2?25a?10a?b?b2?1?25?12?10?1?3?????32?49?2?=，
5a?b?7
点评：向量的模、向量的数量积的运算是经常考查的内容，难度不大，只要细心，运算不要
出现错误即可。 考点三：定比分点
【内容解读】掌握线段的定比分点和中点坐标公式，并能熟练应用，求点分有向线段所成比时，可借助图形来帮助理解。
【命题规律】重点考查定义和公式，主要以选择题或填空题型出现，难度一般。由于向量应用的广泛性，经常也会与三角函数，解析几何一并考查，若出现在解答题中，难度以中档题为主，偶尔也以难度略高的题目。
例8、设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点，且
DC?2BD,CE?2EA,AF?2FB,则AD?BE?CF与BC( )
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