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解答题专项训练六
1.[2015·XX高考]某工厂36名工人的年龄数据如下表：
(1)用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；
(2)计算(1)中样本的均值x和方差s2；
(3)36名工人中年龄在x－s与x＋s之间有多少人？所占的百分比是多少(精确到0.01 %)?
解 (1)由系统抽样的知识可知，36人分成9组，每组4人，其中第一组的工人年龄为44，所以其编号为2，故所有样本数据的编号为4n－2，n＝1,2，…，9.其数据为：44,40,36,43,36,37,44,43,37.
44＋40＋…＋37(2)x＝＝40.
9
1100222
由方差公式知，s＝[(44－40)＋(40－40)＋…＋(37－40)]＝.
99
2
10010
(3)因为s＝，所以s＝∈(3,4)，
93
2
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所以36名工人中年龄在x－s和x＋s之间的人数等于在区间[37,43]内的人数，
即40,40,41，…，39，共23人．
所以36名工人中年龄在x－s和x＋s之间的人数所占的百分比23
为≈63.89%. 36
2．甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A，B，C，D四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．
(1)求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率； (2)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；
(3)设随机变量X为这五名志愿者中参加A岗位服务的人数，求X的分布列．
解 (1)记甲、乙两人同时参加A岗位服务为事件EA，那么P(EA)
3A31＝24＝. C5A440
1
即甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率是.
40
4A4
(2)记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件E，那么P(E)＝24
C5A4
1＝. 10
所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是 －9P(E)＝1－P(E)＝. 10
(3)随机变量X可能取的值为1,2，事件{X＝2}是指有两人同时参加
A岗位服务，则
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3C215A3
P(X＝2)＝24＝.
C5A44
3
所以P(X＝1)＝1－P(X＝2)＝，X的分布列是
4
X P 1 3 42 1 43．[2016·XX模拟]为调查某市学生百米运动成绩，从该市学生中按照男女生比例随机抽取50名学生进行百米测试，学生成绩全部介于13秒到18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组，第一组[13,14)，第二组[14,15)…第五组[17,18]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．
(1)设m，n表示样本中两个学生的百米测试成绩，已知m，n∈[13,14)∪[17,18]，求事件“|m－n|>2”的概率．
(2)根据有关规定，成绩小于16秒为达标，如果男女生使用相同的达标标准，则男女生达标情况如附表：
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根据表中数据，能否有99%的把握认为“体育达标与性别有关”？若有，你能否提出一个更好的解决方法来？
2
n?ad－bc?
附：K2＝.
?a＋b??c＋d??a＋c??b＋d?
P(K2≥k0) k0 0.050 3.841 0.010 6.635 0.001 10.828 解 (1)成绩在[13,14)的人数有：50×0.04＝2人， 设为a，b，
成绩在[17,18]的人数有：50×0.06＝3人， 设为A，B，C，m，n∈[13,14)时有ab一种情况．
m，n∈[17,18]时有AB，AC，BC三种情况．
m，n分别在[13,14)和[17,18]时有aA，aB，aC，bA，bB，bC六种
情况．
基本事件总数为10，事件“|m－n|>2”由6个基本事件组成． 63
所以P(|m－n|>2)＝＝.
105
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(2)依据题意得相关的2×2列联表如下：
2
50×?24×12－6×8?K2＝≈8.333>6.635，
32×18×30×20
故有99%的把握认为“体育达标与性别有关”． 故可以根据男女生性别划分达标的标准．
4．[2016·潍坊二模]甲、乙两人玩猜数字游戏，规则如下： ①连续竞猜3次，每次相互独立；
②每次竞猜时，先由甲写出一个数字，记作a，再由乙猜甲写的数字，记为b，已知a，b∈{0,1,2,3,4,5}，若|a－b|≤1，则本次竞猜成功；
③在3次竞猜中，至少有2次竞猜成功，则两人获奖． (1)求甲、乙两人玩此游戏获奖的概率；
(2)现从6人组成的代表队中选4人参加此游戏，这6人中有且仅有2对双胞胎，记选出的4人中含有双胞胎的对数为X，求X的分布列和期望．
解 (1)记“甲、乙两人一次竞猜成功”为事件A，则P(A)＝6＋5×24＝. 1
C1·C966
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?4?5?4?304????则甲、乙两人获奖的概率P＝C??2×＋??3＝.
?9?9?9?729
23
(2)由题意知，6人中选取4人，双胞胎的对数X的所有可能取值为0,1,2.
1
C1C2·C242·2
P(X＝0)＝＝， 4
C61521C1C11022?C2＋C2·2?
P(X＝1)＝＝＝， 4
C61532
C2C212·
P(X＝2)＝4＝，
C615
故X的分布列为
X P 0 4 151 2 32 1 154214E(X)＝0×＋1×＋2×＝. 153155
5．[2015·高考]A，B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间(单位：天)记录如下：
A组：10,11,12,13,14,15,16； B组：12,13,15,16,17,14，a.
假设所有病人的康复时间相互独立．从A，B两组随机各选1人，A组选出的人记为甲，B组选出的人记为乙．
(1)求甲的康复时间不少于14天的概率；
(2)如果a＝25, 求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率； (3)当a为何值时，A，B两组病人康复时间的方差相等？(结论不要求证明)
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解 设事件Ai为“甲是A组的第i个人”， 事件Bi为“乙是B组的第i个人”，i＝1,2，…，7. 1
由题意可知P(Ai)＝P(Bi)＝，i＝1,2，…，7.
7
(1)由题意知 ，事件“甲的康复时间不少于14天”等价于“甲是A组的第5人，或者第6人，或者第7人”，所以甲的康复时间不少于14天的概率是
3
P(A5∪A6∪A7)＝P(A5)＋P(A6)＋P(A7)＝. 7
(2)设事件C为“甲的康复时间比乙的康复时间长”．由题意知，
C＝A4B1∪A5B1∪A6B1∪A7B1∪A5B2∪A6B2∪A7B2∪A7B3∪A6B6∪A7B6.
因此P(C)＝P(A4B1)＋P(A5B1)＋P(A6B1)＋P(A7B1)＋P(A5B2)＋P(A6B2)＋10P(A7B2)＋P(A7B3)＋P(A6B6)＋P(A7B6)＝10P(A4B1)＝10P(A4)P(B1)＝. 49
(3)a＝11或a＝18.
6．某学校举行联欢会，所有参演的节目都由甲、乙、丙三名专业老师投票决定是否获奖．甲、乙、丙三名老师都有“获奖”、“待定”、“淘汰”三类票各一X．每个节目投票时，甲、乙、丙三名老师必须1
且只能投一X票，每人投三类票中的任何一类票的概率都为，且三3人投票相互没有影响．若投票结果中至少有两X“获奖”票，则决定该节目最终获一等奖；否则，该节目不能获一等奖．
(1)求某节目的投票结果是最终获一等奖的概率；
(2)求该节目投票结果中所含“获奖”和“待定”票票数之和X的分布列及数学期望．
解 (1)设“某节目的投票结果是最终获一等奖”这一事件为A，则事件A包括：该节目可以获两X“获奖”票，或者获三X“获奖”
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票．
∵甲、乙、丙三名老师必须且只能投一X票，每人投三类票中的1
任何一类票的概率都为，且三人投票相互没有影响，
3
?1??2??1?7??2??13??3
∴P(A)＝C????＋C3??＝.
?3??3??3?27
23
(2)所含“获奖”和“待定”票票数之和X的值为0,1,2,3.
?1??2??1?6??311??1??2
P(X＝0)＝??＝；P(X＝1)＝C3????＝；
?3?27?3??3?27?2??1?12?2???2??1??38
P(X＝2)＝C????＝；P(X＝3)＝??＝.
?3??3?27?3?27
23
因此X的分布列为
X P 0 1 271 6 272 12 273 8 2716128∴X的数学期望为E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝2.
272727277．[2016·XX模拟]为了解某地高中生身高情况，研究小组在该地高中生中随机抽出30名高中生的身高编成如图所示的茎叶图(单位：cm)．
若身高在175 cm以上(包括175 cm)定义为“高个子”，身高在
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175 cm以下(不包括175 cm)定义为“非高个子”．
(1)如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人，再从这5人中选2人，那么至少有1人是“高个子”的概率是多少？
(2)用样本估计总体，把频率作为概率，若从该地所有高中生(人数很多)中选3人，用ξ表示所选3人中“高个子”的人数，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望．
解 (1)根据茎叶图，有“高个子”12人，“非高个子”18人，51用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是＝，
306
11
所以选中的“高个子”有12×＝2人，“非高个子”有18×＝
663人．
用事件A表示“至少有1名‘高个子’被选中”，则它的对立事－
件A表示“没有‘高个子’被选中”，
2C337
则P(A)＝1－2＝1－＝. C51010
7
因此，至少有1人是“高个子”的概率是.
10
(2)依题意，抽取的30名学生中有12名是“高个子”，所以抽取122
1名学生是“高个子”的频率为＝，频率作为概率，那么从所有高
3052
中生中抽取1名学生是“高个子”的概率是，又因为所取总体数量较
5多，抽取3名学生可看成进行3次独立重复试验，于是，ξ服从二项
?2???
分布B?3，?，ξ的取值为0,1,2,3.
5??
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?2?2?2???327??2541
P(ξ＝0)＝C?1－?＝，P(ξ＝1)＝C3·?1－?＝，
5?1255?5?125?
0
3
?2???2?2?8??2??363??3
P(ξ＝2)＝C???1－?＝，P(ξ＝3)＝C3??＝.
5?125?5???5?125
2
3
因此，ξ的分布列如下：
ξ 0 27 1251 54 1252 36 1253 8 125P 27543686
所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. 1251251251255
8．[2016·XX模拟]某煤矿发生透水事故时，作业区有若干人员被困，救援队从入口进入之后有L1，L2两条巷道通往作业区，L1巷道有1
A1，A2，A3三个易堵塞点，各点被堵塞的概率都是；L2巷道有B1，B2
233
两个易堵塞点，被堵塞的概率分别为，. 45
(1)求L1巷道中，三个易堵塞点最多有一个被堵塞的概率． (2)若L2巷道中堵塞点个数为X，求X的分布列及数学期望E(X)，并按照“平均堵塞点少的巷道是较好的抢险路线”的标准，请你帮助救援队选择一条抢险路线，并说明理由．
解 (1)设“L1巷道中，三个易堵塞点最多有一个被堵塞”为事件
?1??1???3?1?211
A，则P(A)＝C×??＋C3××??＝. 2?2?2?2?
0
3
(2)依题意，X的可能取值为0,1,2.
??3?3?????1
P(X＝0)＝?1－?×?1－?＝，
4??5?10?
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?3?3?3?????39
P(X＝1)＝×?1－?＋?1－?×＝，
5??4?5204?
339
P(X＝2)＝×＝.
4520
所以，随机变量X的分布列为：
X P 0 1 101 9 202 9 2024927E(X)＝0×＋1×＋2×＝.
10202420
解法一：设L1巷道中堵塞点个数为Y，则Y的可能取值为0,1,2,3.P(Y?1?1??1?11???3?1?23??12
＝0)＝C×??＝，P(Y＝1)＝C3××??＝，P(Y＝2)＝C3×??2×＝
2?2?8?2?8?2?2
0
3
3， 8
?1?1?3
P(Y＝3)＝C×??2?＝8.
??
33
所以，随机变量Y的分布列为：
Y P 0 1 81 3 82 3 83 1 813313E(Y)＝0×＋1×＋2×＋3×＝，因为E(X) 88882 L2巷道为抢险路线为好． ?1???解法二：设L1巷道中堵塞点个数为Y，则随机变量Y～B?3，?， 2?? 13 所以E(Y)＝3×＝. 22 - . .考试资料 - . - 因为E(X) - . .考试资料
解答题专项训练6 - 图文
