附录A 洪水频率计算
A1 洪水频率曲线统计参数的估计和确定
A1.1 参数估计法
A1.1.1 矩法。对于n年连序系列，可采用下列公式计算各统计参数: 均值
X?1n?Xini?1 （A1）
均方差 S?或 S?变差系数
Cv?1n(Xi?X)2?n?1i?11?n1n22? （A2） X?(X)??ii??n?1?i?1ni?1?SX （A3）
n?(Xi?X)3i?1n偏态系数
Cs?(n?1)(n?2)XCnn3
3v或
Cs?n2?Xi3?3n?Xi??Xi2?2(?Xi)3i?1i?1i?1i?1nnn(n?1)(n?2)XC3 （A4）
3v式中 Xi——系列变量（i=1，…，n）； n——系列项数。
对于不连序系列，其统计参数的计算与连序系列的计算公式有所不同。如果在迄今的N年中已查明有a个特大洪水（其中有l个发生在n年实测或插补系列中），假定（n-l）年系列的均值和均方差与除去特大洪水后的（N-a）年系列的相等，即XN?a?Xn?l,Sn?a?Sn?l，可推导出统计参数的计算公式如下：
1aN?anX?(?Xj?Xi) （A5） ?Nj?1n?li?l?11Cv?X?1?aN?an22(X?X)?(X?X)????ijN?1?j?1n?li?l??1? （A6）
?a?N?an33N??(Xj?X)?(X?X)??in?li?l?1j?1?? （A7） Cs?33(N?1)(N?2)XCv式中 Xj——特大洪水变量（j=1，…，a）；
Xi——实测洪水变量（i=l+1，…，n）。
A1.1.2 概率权重矩法。概率权重矩定义为
Mj??xFj(x)dF j=0,1,2,… （A8）
01皮尔逊Ⅲ型频率曲线的三个统计参数不能用概率权重矩的显式表达。但经推导有：
X?Mo （A9）
Cv?H(M11?) （A10） M02R?M2?M0/3 （A11） M1?M0/2式中，H和R都和Cs有关，并已有近似的经验关系如下：
?Cs?16.41u?13.51u2?10.72u3?94.54u4?
R?13?(1?R?)?u?(4/3?R)0.124? （A12）
?H?3.545?29.85V?29.15V2??(R?1)2(1?R??V?(4/3?R)0.14??363.8V3?6093V44)3 （A13）
为保证Cv和Cs有二位小数准确，要求在用式（A11）计算R时，M0、M1和M2的计算值至少达到5位有效数字。
1 根据连序系列计算概率权重矩。将洪水系列按从大到小顺序排列，样本概率权重矩按下式计算：
?1n?Mo?n?Xii?1? ?1nn?i?M1??Xini?1n?1??1n(n?i)(n?i?1)M?Xi?2?ni?1(n?1)(n?2)? （A14）
2 根据含历史洪水特大值的不连序样本计算概率权重矩。
?1?aN?an?l?M?X?Xi????oj ?N?j?1n?li?1???1?aN?jN?an?ln?l?i??M?X?CX???1j1iN?n?li?1n?l?1??j?1N?1????1?a(N?j)(n?j?1)N?an?l(n?l?i)(n?l?i?1)X?CXi??M2???j2??N?j?1(N?1)(N?2)n?li?1(n?l?1)(n?l?2)?? (A15)
式中，C1，C2都是对不连序系列中实测洪水概率权重的修正系数。
N?a?1?C?1?N?1??2N?a?1??C????2?N?1??? (A16)
A1.1.3 双权函数法。均值仍用矩法，如式（A1）计算。而Cv和Cs的计算公式为
E1?21kH1 （A17） hXCv2?AE?1?1D1H1Cs??A21(XCv21?) CvD1h （A18）
式中，k、h是待优选的系数，可采用未加权的、数值积分计算的Cv，按下式选定：h=Cv，K=1/Cv。
E1?H1????(X?X)?1(x)f(x)dx
（A19） （A20）
???(X?X)2?1(x)f(x)dx
1A1?D1????????(x)f(x)dx
（A21）
（A22）
(X?X)?1(x)f(x)dx
第一权函数
??k2(X?X)2? （A23）k ?(x)?exp?2?X2?2X??h(X?X)? （A24）第二权函数 ?1(x)?exp? ????X?积分式（A19）~式（A22）可用数值积分公式计算。例如，当n为奇数时，采用权积分系数：8，-4，8，1，4，2，4，2，…，2，4，1，8，-4，8，总权数=3（n+1）；当n=偶数时，采用64，-32，64，8，32，16，32，16，…，32，17，27，27，17，32，16，32，…，16，32，8，64，-32，64，总权数=24（n+1）。
A1.1.4 线性矩矩法。
1 线性矩的定义
设随机变量为X，其取值为x，分布函数为F(x)，密度函数f(x)。概率权重矩可定义为
?r??x(1?F(x))rdF(x), （A25）
0
?r??xF(x)rdF(x)
011 （A26）
在此基础上，定义线性矩?r(L-Moment)为
?r??xPr*?1(F(x))dF(x)0r1 （A27）
r?k(?1)(r?k)!k*P(u)?u (A28) ?2 其中： rk?0(k!)(r?k)! 一般地，这种定义的线性矩与概率权重矩的关系如下： ?r?1r(?1)r?k(r?k)!(?1)r?k(r?k)!?(?1)??k???k （A29） 22k?0(k!)(r?k)!k?0(k!)(r?k)!rr线性矩与矩都可作为概率分布的位置、离散和形状特征的度量。它们各自表示方法见表A1.1.4。
表A1.1.4 总体与样本线性矩与矩的表示符号
特征 位置 离散 偏态 峰形
2 线性矩与Pearson-III分布统计分布参数关系 设P-III分布密度函数如下：
总体矩 EX ? CV CS 样本矩 x S ? CV总体线性矩 ?1 ?2 样本线性矩 l1 l2 t ? CE ? CS? CE?3 t3 ?4 t4 ??f(x)?(x?a0)??1e??(x?a) ?(?)0(?,??0,x?a0) （A30）
由于?，?，a0与线性矩关系复杂，故给出近似算法： ?1?a0????2, （A31）
?2???(??1)/?(?)/? （A32） 2?12 ?3?? ?4?A0?A1??1?A2??2?A3??31?B1??1?B2??2?2(??1); (A33)
C0?C1??1?C2??2?C3??31?D1??1?D2?(??1); （A34）
1?E1??E2?2?E3?3 ?3?1?F1??F2?2?F3?31?G1??G2?2?G3?3?3?1?F1??F2?2?F3?3(??1) （A35）
(??1) （A36）
系数A0,A1,A2,A3,B1,B2,C0,C1,C2,C3,D1,D2,E1,E2,E3,F1,F2,F3,G1,G2,G3,H1,H2,H3 取值分别是：0.32573501，0.16869150，0.078327243，-0.0029120539，0.46697102，0.24255406，0。122602172，0.053730130，0.043384378,0.011101277，0.18324466，0.20166036,2.3807576，1.5931792，0.11618371，5.1533299，7.1425260，1.9745056,2.1235833,4.1670213,3.1925299,9.0551443,26.649995,26.193668。
3 连序系列时样本线性矩公式
设样本为x1:n?x2:n?????xn:n，则线性矩?1?2,?3,?4,对应的样本矩l1，l2，l3,l4计算公式由如下：
l1 =b0 （A37） l2 =2b1-b0 （A38） l3 =6b2-6b1+b0 （A39） l4=20b3-30b2+12b1-b0 （A40） ?3= l3 /l2 （A41） ?4= l4 /l2 （A42）
1n b0??xj:n （A43）
nj?1
洪水频率计算（要求规范方法） - 图文
