与圆有关的轨迹方程之欧阳术创编

由天下分享时间：2025/2/1 2:13:25 加入收藏我要投稿点赞

欧阳术创编 2024.02.02 欧阳美创编 2024.02.02

求与圆有关的轨迹方程

时间：2024.02.02 创作：欧阳术 [概念与规律]

求轨迹方程的基本方法。

（1）直接法：这是求动点轨迹最基本的方法，在建立坐标系后，直接根据等量关系式建立方程。

（2）转移法（逆代法）：这方法适合于动点随已知曲线上点的变化而变化的轨迹问题，其步骤是：设动点M（x，y），已知曲线上的点为N（x0，y0），

求出用x，y表示x0，y0的关系式，

将（x0，y0）代入已知曲线方程，化简后得动点的轨迹方程。（3）几何法：这种方法是根据已知图形的几何性质求动点轨迹方程。

（4）参数法：这种方法是通过引入一个参数来沟通动点（x，y）中x，y之间的关系，后消去参数，求得轨迹方程。

（5）定义法：这是直接运用有关曲线的定义去求轨迹方程。 [讲解设计]重点和难点

例1 已知定点A（4，0），点B是圆x2+y2=4 上的动点，点P分AB的比为2：1，求点P的轨迹方程。

例2 自A（4，0）引圆x2+y2=4的割线ABC，求弦BC中点P的轨迹方程。

方法一：(直接法)设P(x，y)，连接OP，则OP⊥BC，当x≠0时，kOP·kAP＝－1，即即x2＋y2－4x＝0. ①

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当x＝0时，P点坐标(0,0)是方程①的解，

∴BC中点P的轨迹方程为x2＋y2－4x＝0(在已知圆内的部分)．

方法二：(定义法)

由方法一知OP⊥AP，取OA中点M，则M(2,0)，|PM|＝|OA|＝2，

由圆的定义知，P的轨迹方程是(x－2)2＋y2＝4(在已知圆内的部分)．

例3 已知直角坐标平面上的点Q（2，0）和圆C：x2+y2=1，动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数?（??0），求动点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线。

设直线MN切圆于N，则动点M组成的集合是：P={M||MN|=|MQ|}∵圆的半径|ON|=1，∴|MN|2=|MO|2-|ON|2=|MO|2-1，设点M的坐标为（x，y），则整理得（x-4）2+y2=7．∴动点M的轨迹方程是（x-4）2+y2=7．它表示圆，该圆圆心的坐标为（4，0），半径为例4 如图，已知两条直线l1：2x-3y+2=0，l2：3x-2y+3=0，有一动圆（圆心和半径都在变化）与l1，l2都相交，并且l1与l2被截在圆内的两条线段的长度分别是26和24，求圆心M的轨迹方程。

设动圆的圆心为M(x,y),半径为r,点M到直线l1,l2的距离分别为d1和d2.

由弦心距、半径、半弦长间的关系得，

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即

消去r得动点M满足的几何关系为即

=25.

=25,

化简得（x+1）2-y2=65.此即为所求的动圆圆心M的轨迹方程.

练习与作业

221、已知：点P是圆x?y?16上的一个动点，点A是x轴上的定点，坐标为（12，0），当P点在圆上运动时，求线段PA的中点M的轨迹方程

2、已知点A（-1，0）与点B（1，0），C是圆x2+y2=1上的动点，连接BC并延长到D，使|CD|=|BC|，求AC与OD（O为坐标原点）的交点P的轨迹方程。

223、求与y轴相切，且与圆x?y?4x?0也相切的圆P的圆心的轨迹方程