初中数学竞赛辅导资料
列表法
甲内容提要
只要有可能，依题意画个图或列个表给问题以直观的描述，对解题大有好处.因为图表常能把数据的题设和结论之间的相互关系，有条不紊地形象表达出来，特别是纵横关系较多的问题，利用图表，不仅便于思考答题方案，还可以作为答题的步骤. 图解已在枚举法，交集法等处介绍过，本讲主要介绍表解.
使用表解的关键是合理地设计纵横栏目.其前提是正确地理解题意，明确各条件之间的从属、并列、交叉关系.数学逻辑推理有一个最基本的定律，就是排中律，即“不是真，必为假”，“不是假，便是真”，列表推理就是把诸多数据按题目条件，逐一填入表中，当发现与题设矛盾时就排除，在排除淘汰的基础上，推出满足所有条件的结论. 乙例题
例1. n为正整数，试证2 n+7 n+2能被5整除.
解： n分别取1，2，3，4时，观察2 n+7 n+2的个位数字情况如下：
n 2n的个位数 7n+2的个位数 2n+7n+2的个位数 1 2 3 5 2 4 1 5 3 8 7 5 4 6 9 5 并且∵2 4k+n与2 n； 74k+(n+2) 与7n+2(k为整数)的个位数字相同. ∴n 不论取什么自然数值，2n+7n+2均能被5整除..
例2. 小张步行每小时走10里，骑车每小时走30里，他从甲地到乙地步行和骑车走了同样长的路程；然后沿着同一条路从乙地返回甲地，这次步行和骑车走了同样多的时间，结果返回时比去时少用了40分钟.求甲、乙两地的距离及从乙到甲所用的时间.
解：设甲乙两地的距离为x里，从乙到甲所用的时间是y 小时. 列表如下：
从甲到乙 从乙到甲
11S x里 x里 x里
22V T V步=10里y+时 V车=30里时 V步=10里时 V甲=30里时 2(时) 3yy时 时 22x?x?22?y?2??根据题意，得 ?10303
?yy10??30??x?22? 解这个方程组，得??x?40
y?2?答：甲乙两地的距离为40里，从乙返甲用了2小时.
例3. 从1到10这十个自然数中，每次取两个，要使它们的和大于10，共有几种取法？试列表统计.
解：有两种列表法：由大数取小数或以小数取大数
较大数 较 小 数 10 9 8 7 6 1，2，3，4，5，6，7，8，9， 2，3，4，5，6，7，8， 3，4，5，6，7， 4，5，6， 5， 较 大 数 10, 10，9, 10，9，8 , 10，9，8，7, 10，9，8，7，6， 10，9，8，7， 10，9，8， 10，9， 10, 取法种数 9 7 5 3 1 取法种数 1 2 3 4 5 4 3 2 1 ∴共有9+7+5+3+1=25种取法. 较小数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 共有1+2+3+4+5+4+3+2+1=25种取法.
例4. A，B，C，D，E五个人，每人头上戴一顶帽子，只有红或白两种颜色中的一种.他们看见别人所戴的帽子颜色，分别说了以下的话：
A说：我看到的是3白1红； B说：我看到的是4红； C说：我看到的是1白3红； E说：我看到的是4白.
已知戴白帽子的人说真话，而戴红帽子的人说假话.试判断A，B，C，D，E各戴什么颜色的帽子.
解：先由易到难，用否定判断法：
若E说了真话，则共有5白，即大家都说了真话，这与其他人所说内容相矛盾，所以E必是戴红帽；
若A说了真话，则共有4白1红，那么 除A、E以外，还有2人说真话，就是B、C也说真话，这也不可能，所以A也 戴红帽；
在确定A、E之后，我们把B、C说真话或假话的情况列表来判断：
设B说真话 设C说真话 A 红 红 B 白 红 白 C 白 D E 红 红 若B说真话，则C、D都为红(∵B看到的是4红)，那么C应是说假话，但C说1白3红却是真的，所以矛盾，B没有说真话，应是戴红帽.
最后，C确实说了真话(看到1白3红).这时可知D是戴白帽.
∴A，B，C，D，E所戴帽子的颜色分别是：红，红，白，白，红.
丙练习56
1. 用列表法,求不等式(2x+1)(x－2)(x－3)<0的解集 当x取值为 2x+1的符号 x－2的符号 x－3的符号 x<－ － 1 2－1
能被10整除.
3. 若自然数a不是2和3的倍数，试证a2+23能被24整除.
4. 原计划在一定时间内插秧152亩，实际工作时，每天比原计划多插2亩，结果比原计划
提前3天并超额完成8亩.问原计划每天插秧几亩？
5. 甲，乙两人接受同样的任务，开始时乙比甲每天少做4件，做到两人都剩下624件时，
乙比甲多用了2天.此后乙改进技术，每天比原来多做6件，这样两人在同一时间内定成任务.求甲、乙两人的工作效率.
6. A，B，C，D，E，F六个球队，进行单循环比赛（每队都要与其他各队各比赛一场），
经过一段时间询问了A，B，C，D，E五个队，结果是他们都参加了比赛，并且比赛的场数各不相同，问未查询的F队比赛了几场？
7. 甲，乙，丙三人参加高考后，甲说：我一定考上重点大学.乙说：重点大学我考不上.丙
说：我考上大学是没有问题的.发榜后，这三人中有一人考上重点天学，一人考上一般大学，一人落选.对他们的预言，只有一人正确.试判断甲，乙，丙的录取情况.
8. 甲，乙，丙三同学，来自初三①，② ③班各一人，参加语、数、英兴趣小组各一项.
已知甲不是①班的，乙不在②班，在①班的不参加数学组，在②班的参加英语组，乙不参加语文组.问丙是哪个班？参加什么组？
9. 甲，乙，丙，丁四人参加数学竞赛，得了前四名，三位同学在议论名次.A说：甲第一，
乙第二；B说：甲第二，丁第四；C说：丙第二，丁第三.结果他们各对了一半.问甲，乙，丙，丁的正确名次是多少？
10. 一次校运会，小王，小林，小江三人包揽了五个项目的前三名，小王共得22分，小林，
小江各得9分，每项目的一，二，三名得分，分别是5，2，1分，并知小江得铅球第一名.试问他们各得几个第一名，第二名，第三名？
11. 四位外国朋友，他们都会说英、法、日、汉四种语言中的2种，有一种语言三个人会说，
但没有一种大家都会说的语言.还知道：
① A会讲日语，D却不会，但他们用同一种语言交谈； ② B不会讲英语，当A、C交谈时，他当翻译； ③ B、C、D三人谈时，没有一种共同的语言； ④ 四人中没有一人既会讲日语，又会讲法语.
试问A，B，C，D四人各会讲何种语言.
练习56
2. 列表 n=1,2,3,4(仿例1 3. 已知可表示为6k±1 4. 8亩 5. 24，20 6. 3场（仿例3） 7. 甲落选，乙重点，丙一般 8.丙是（1）班学生，参加语文组 9.甲，乙，丙，丁分别是1，3，2，4. 10. 王（4个一，1个二）；江（1个一，4个三）；林（4个二，1个三）. 11. 用1表示会说，0表示不会说 项 目 A B C D 该种语言，答案列表如右： 英 语 0 0 1 1 法 语 0 1 1 0 日 语 1 0 0 0 汉 语 1 1 0 1
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