小专题(四) 全等三角形的基本模型
类型1 平移型
把△ABC沿着某一条直线l平行移动，所得到△DEF与△ABC称为平移型全等三角形.图1，图2是常见的平移型全等三角形.在证明平移型全等的试题中，常常要碰到移动方向的边加(减)公共边.如图1，若BE＝CF，则BE＋EC＝CF＋CE，即BC＝EF.如图2，若BE＝CF，则BE－CE＝CF－CE，即BC＝EF.
1.如图，已知EF∥MN，EG∥HN，且FH＝MG，求证：△EFG≌NMH.
证明：∵EF∥MN，EG∥HN， ∴∠F＝∠M，∠EGF＝∠NHM. ∵FH＝MG，
∴FH＋HG＝MG＋HG， 即GF＝HM.
在△EFG和△NMH中，
?∠F＝∠M，
?GF＝HM，
?∠EGF＝∠NHM，
∴△EFG≌△NMH(ASA).
2.(金华六校10月联考)如图，A.B.C.D四点在同一直线上，请你从下面四项中选出三个选项作为条件，余下一个作为结论，构成一个真命题，并进行证明.
①AB＝CD；②∠ACE＝∠D；③∠EAG＝∠FBG；④AE＝BF. 你选择的条件是：①②③，结论是：④.(填写序号)
证明：∵∠EAG＝∠FBG， ∴∠EAD＝∠FBD. ∵AB＝CD，
∴AB＋BC＝BC＋CD， 即AC＝BD.
在△ACE和△BDF中，
?∠ACE＝∠D，
?AC＝BD，
?∠EAD＝∠FBD，
∴△ACE≌△BDF(ASA). ∴AE＝BF.
类型2 翻折型
将原图形沿着某一条直线折叠后，直线两边的部分能够完全重合，这两个三角形称之为翻折型全等三角形.此类图形中要注意其隐含条件，即公共边或公共角相等.
3.(下城区校级期中)如图，已知Rt△ABC≌Rt△ADE，∠ABC＝∠ADE＝90°，BC与DE相交于点F，连结CD.EB.
(1)不添加辅助线，找出图中其他的全等三角形；
(2)求证：CF＝EF.
解：(1)图中其他的全等三角形为： △ACD≌△AEB，
△DCF≌△BEF.
(2)证明：∵Rt△ABC≌Rt△ADE，
∴AC＝AE，AD＝AB，∠CAB＝∠EAD. ∴∠CAB－∠DAB＝∠EAD－∠DAB， 即∠CAD＝∠EAB. ∴△CAD≌△EAB.
∴CD＝EB，∠ADC＝∠ABE. 又∵∠ADE＝∠ABC， ∴∠CDF＝∠EBF. 又∵∠DFC＝∠BFE， ∴△CDF≌△EBF(AAS). ∴CF＝EF.
类型3 旋转型
将三角形绕着公共顶点旋转一定角度后，两个三角形能够完全重合，则称这两个三角形为旋转型三角形.识别旋转型三角形时，如图1，涉及对顶角相等；如图2，涉及等角加(减)等角的条件.
4.已知：如图，AB＝AC，AB⊥AC，AD⊥AE，且∠ABD＝∠ACE.求证：AD＝AE.
证明：∵AB⊥AC，AD⊥AE，
∴∠BAC＝∠DAE＝90°.
∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，即∠BAD＝∠CAE.
在△ABD和△ACE中，∠BAD＝∠CAE，AB＝AC，∠ABD＝∠ACE， ∴△ABD≌△ACE. ∴AD＝AE.
5.如图，△ABC，△CDE是等边三角形，B，C，E三点在同一直线上.
(1)求证：AE＝BD；
(2)若BD和AC交于点M，AE和CD交于点N，求证：CM＝CN； (3)连结MN，猜想MN与BE的位置关系，并加以证明. 解：(1)证明：∵△ABC和△DCE均为等边三角形， ∴AC＝BC，CE＝CD，∠ACB＝∠DCE＝60°. ∴∠BCD＝∠ACE＝120°.
?AC＝BC，
在△ACE和△BCD中，?∠ACE＝∠BCD，
?CE＝CD，
∴△ACE≌△BCD(SAS). ∴AE＝BD.
(2)证明：∵△ACE≌△BCD，
∴∠CBD＝∠CAE.
∵∠ACN＝180°－∠ACB－∠DCE＝60°， ∴∠BCM＝∠ACN.
在△BCM和△ACN中，
?∠CBM＝∠CAN，
?CB＝CA，
?∠BCM＝∠ACN，
【浙教版】八年级数学上第1章 《三角形的初步知识》小专题：全等三角形的基本模型(含答案)
