函数图象关于点对称性
函数是中学数学教学的主线,是中学数学的核心内容,也是整个高中数学的基础。函数的性质是高考的重点与热点,函数的对称性是函数的一个基本性质之一,对称关系不仅广泛存在于数学问题之中,而且利用对称性往往能更简捷的是问题得到解决,对称关系还充分体现了数学的之美。对称性,在几何中研究的较多,在代数中研究的较少。本文只探讨函数的关于点对称性。
I.函数自身关于点对称性 命题1:函数
(或者
证明:(必要性)设的对称点
故
(充分性)设点
,∴也在
得证。
推论1:奇函数的图像关于原点对称。 证明:设函数函数
是奇函数,则奇函数定义有 f(x)?f(?x)?0,由命题1可得
对称。
满足
,则函数
图象关于
是是也在
的图像关于点
)
图像上任一点,∵点图像上,∴,必要性得证。 图像上任一点,则
,即
图像上,而点与点
关于点
,∵,故点对称,充分性关于点
,即
对称的充要条件是
图像关于源点
推论2:如果函数
点对称。(证明略) 推论3:函数证明:∵∴
,
的图像关于点
。 ,
由命题1有函数
的图像关于点
满足且
,则对称。
且函数
在区间
例1 已知定义域为的函数上单调递增,如果
的值( )
A. 恒小于0 B. 恒大于0 C. 可能为零 D. 可正可负
分析:先
代替,使
的图像关于点
变形为对称。
在区间
,它的特上单调递增,
征就是推论2,因此函数在区间个单位。
解:∵∴∴以选A
例2 如果函数
满足
,求该函数的对称中心。(因为
且在区间,∵ ∴
上单调递增,
∴函数
的图像关于点
对称,.所
上也单调递增。我们可以把该函数想象成是奇函数的图象向右平移了两
自变量加起来为7时函数值的和始终为6,所以中点固定为(3.5,3),这就是它的对称中心) 如果
为奇函数,并且
,求该函数的所有对称中心和对
,从而
为对称轴,
,
关于点也在函数
对称,所以点图象上,所以
关于点
的对,即
,
称轴。(由周期性定义知周期为4,又按上例知x=-1为对称轴,所以例3 定义在上的函数则
解:由命题1可得函数称点
满足
为对称中心其中k∈Z)
;同理可得
.
例4 已知定义在上的函数数都有则
,且
,,;于是
的图象关于点、
,
成中心对称,对任意的实
的值为( )。
A. 2 B. -1 C. 0 D. 1
解:由函数
的图象关于点,∴
偶函数,且数,则
,
=
=1.
成中心对称,得;令
则,即
,于是
,又是
是以3为周期的函
,∴
例4 函数
.
解:由推论3可知
,即
.
的图象关于点成中心对称,则实数
图象关于点成中心对称,所以
函数图象关于点对称性.
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