函数图象关于点对称性.

函数图象关于点对称性

函数是中学数学教学的主线，是中学数学的核心内容，也是整个高中数学的基础。函数的性质是高考的重点与热点，函数的对称性是函数的一个基本性质之一，对称关系不仅广泛存在于数学问题之中，而且利用对称性往往能更简捷的是问题得到解决，对称关系还充分体现了数学的之美。对称性，在几何中研究的较多，在代数中研究的较少。本文只探讨函数的关于点对称性。

I.函数自身关于点对称性 命题1：函数

(或者

证明：（必要性）设的对称点

故

（充分性）设点

，∴也在

得证。

推论1：奇函数的图像关于原点对称。 证明：设函数函数

是奇函数，则奇函数定义有 f(x)?f(?x)?0，由命题1可得

对称。

满足

,则函数

图象关于

是是也在

的图像关于点

)

图像上任一点，∵点图像上，∴，必要性得证。 图像上任一点，则

，即

图像上，而点与点

关于点

，∵，故点对称，充分性关于点

，即

对称的充要条件是

图像关于源点

推论2：如果函数

点对称。（证明略） 推论3：函数证明：∵∴

，

的图像关于点

。 ，

由命题1有函数

的图像关于点

满足且

，则对称。

且函数

在区间

例1 已知定义域为的函数上单调递增，如果

的值（ ）

A. 恒小于0 B. 恒大于0 C. 可能为零 D. 可正可负

分析：先

代替，使

的图像关于点

变形为对称。

在区间

，它的特上单调递增，

征就是推论2，因此函数在区间个单位。

解：∵∴∴以选A

例2 如果函数

满足

，求该函数的对称中心。（因为

且在区间，∵ ∴

上单调递增，

∴函数

的图像关于点

对称，.所

上也单调递增。我们可以把该函数想象成是奇函数的图象向右平移了两

自变量加起来为7时函数值的和始终为6，所以中点固定为（3.5，3），这就是它的对称中心） 如果

为奇函数，并且

，求该函数的所有对称中心和对

，从而

为对称轴，

，

关于点也在函数

对称，所以点图象上，所以

关于点

的对，即

，

称轴。（由周期性定义知周期为4，又按上例知x=-1为对称轴，所以例3 定义在上的函数则

解：由命题1可得函数称点

满足

为对称中心其中k∈Z）

；同理可得

.

例4 已知定义在上的函数数都有则

，且

，，；于是

的图象关于点、

，

成中心对称，对任意的实

的值为（ ）。

A. 2 B. -1 C. 0 D. 1

解：由函数

的图象关于点，∴

偶函数，且数，则

，

=

=1.

成中心对称，得;令

则，即

,于是

，又是

是以3为周期的函

，∴

例4 函数

.

解：由推论3可知

，即

.

的图象关于点成中心对称，则实数

图象关于点成中心对称,所以