用空间向量解决平行与垂直的证明
考向一 用坐标法证明平行问题
1、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是CC1，B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD． 【答案】见解析
【解析】法一 如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空1?1，1，1?，0，1，?，间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，M?N2??2??11→→→，0，?. 于是DA1＝(1,0,1)，DB＝(1,1,0)，MN＝?2??2→→???n⊥DA1，?n·DA1＝x＋z＝0，
设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，则?即?取x＝1，则
→→???n⊥DB，?n·DB＝x＋y＝0，y＝－1，z＝－1，∴平面A1BD的一个法向量为n＝(1，－1，－1)． 11→→，0，?·(1，－1，－1)＝0，∴MN⊥n.∴MN∥平面A1BD． 又MN·n＝?2??21→→→→1→1→1→→→→法二 MN＝C1N－C1M＝C1B1－C1C＝(D1A1－D1D)＝DA1，∴MN∥DA1，∴MN∥平面2222A1BD．
1→→1→→→→1→1→1→1→1→→法三 MN＝C1N－C1M＝C1B1－C1C＝DA－A1A＝DB＋BA－A1B＋BA＝DB－2222222
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1→AB. 21→→→→→→
即MN可用A1B与DB线性表示，故MN与A1B，DB是共面向量，故MN∥平面A1BD．
2、如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，过点E作EF⊥PB于点F.
求证：PA∥平面EDB；
[证明] 以D为坐标原点，射线DA，DC，DP分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz.
设DC＝a.
(1)连接AC交BD于点G，连接EG.
aa0，，?. 依题意得A(a,0,0)，P(0,0，a)，C(0，a,0)，E??22?因为底面ABCD是正方形， 所以G为AC的中点 aa?故点G的坐标为??2，2，0?， a―→―→a，0，－?， 所以PA＝(a,0，－a)，EG＝?2??2―→―→
则PA＝2EG，故PA∥EG. 而EG?平面EDB，PA?平面EDB， 所以PA∥平面EDB.
3、如图，在四面体A-BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD＝2，BD＝22，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ＝3QC.
求证：PQ∥平面BCD.
证明：如图，取BD的中点O，以O为坐标原点，OD，OP所在直线分别为y轴，z轴，建立空间直角坐标系O-xyz.
由题意知，A(0，2，2)，B(0，－2，0)，D(0，2，0)． 设点C的坐标为(x0，y0,0)． ―→―→因为AQ＝3QC， 3231所以Q?x0，＋y0，?. 442??4因为M为AD的中点，故M(0，2，1)． 10，0，?， 又P为BM的中点，故P?2??―→323所以PQ＝?x0，＋y0，0?. 44?4?又平面BCD的一个法向量为a＝(0,0,1)， ―→
故PQ·a＝0.
又PQ?平面BCD，所以PQ∥平面BCD.
4、如图所示，在底面是矩形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，E，F分别是PC，PD的中点，PA＝AB＝1，BC＝2. 求证：EF∥平面PAB；
[证明] 以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系如图所示，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,2,0)，
1??11???1?P(0,0,1)，所以E?,1,?，F?0,1,?，EF＝??,0,0?，PB＝(1,0，2??22???2?－1)，PD＝(0,2，－1)，AP＝(0,0,1)，AD＝(0,2,0)，DC＝(1,0,0)，AB＝(1,0,0)． 因为EF＝－1AB，所以EF∥AB，即EF∥AB. 2又AB?平面PAB，EF?平面PAB，所以EF∥平面PAB.
5、在如图3-2-4所示的多面体中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC＝2AD＝4，EF＝3，AE＝BE＝2，G是BC的中点，求证：AB∥平面DEG.
图3-2-4
[证明] ∵EF⊥平面AEB，AE?平面AEB，BE?平面AEB， ∴EF⊥AE，EF⊥BE.
又∵AE⊥EB，∴EB，EF，EA两两垂直．
以点E为坐标原点，EB，EF，EA分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．
→
由已知得，A(0,0,2)，B(2,0,0)，C(2,4,0)，F(0,3,0)，D(0,2,2)，G(2，2,0)，∴ED＝(0,2,2)，→→
EG＝(2,2,0)，AB＝(2,0，－2)．
设平面DEG的法向量为n＝(x，y，z)， →???ED·n＝0，?2y＋2z＝0，则?即?
→???2x＋2y＝0，?EG·n＝0，
令y＝1，得z＝－1，x＝－1，则n＝(－1,1，－1)， →→
∴AB·n＝－2＋0＋2＝0，即AB⊥n. ∵AB?平面DEG，
∴AB∥平面DEG.
考向二 用坐标法证明垂直问题
1、在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，点E在线段BB1上，且EB1＝1，D，F，G分别为CC1，C1B1，C1A1的中点． 求证： B1D∠平面ABD；
高二 数学 选修2-1专题5 用空间向量解决平行与垂直的证明-
