又－1 ＝1，∴a＝1. 2. 2 能力拓展提升 a－1 综上所述，a的值是1或－ 11.(文)(2011·天津一中)若函数f(x)＝是( ) 3 A．(－∞，＋∞) B．(0，) 433C．(，＋∞) D．[0，) 44[答案] D x－4 的定义域为R，则实数m的取值范围 mx2＋4mx＋3 [解析]①m＝0时，分母为3，定义域为R. ?m≠0，?②由? ??Δ<0 3 得0 4 3 综上得0≤m<. 4 (理)(2011·黑龙江哈尔滨模拟)如果函数f(x)对于任意实数x，存在常数M，使得不等式|f(x)|≤M|x|恒成立，那么就称函数f(x)为有界泛函．下面有4个函数： ①f(x)＝1; ②f(x)＝x； ③f(x)＝(sinx＋cosx)x; ④f(x)＝ 2 x. x＋x＋1 2 其中有两个属于有界泛函，它们是( ) A．①②B．②④ C．①③D．③④ [答案] D [解析] 由|f(x)|≤M|x|对x∈R恒成立，知|①中?②中?③中? fx|max≤M. x?fx?＝|1|∈(0，＋∞)，故不存在常数M使不等式恒成立； ? ?x?x?fx?＝|x|∈[0，＋∞)，故不存在常数M使不等式恒成立； ? ?x? ?fx?＝|sinx＋cosx|＝2|sin(x＋π)|≤2，故存在M使不等式恒成立； ?4?x? - 6 - 1??4fx??1???123?≤， ④中?＝?2＝?? ?x??x＋x＋1??x＋2＋4?3 ??故存在M使不等式恒成立． [点评] 作为选择题判断①后即排除A、C，判断②后排除B，即可选出D. ??a12．(文)(2011·海南海口模拟)对a，b∈R，记min{a，b}＝? ?b? a a≥b， 函数f(x) 1 ＝min{x，－|x－1|＋2}(x∈R)的最大值为________． 2 [答案] 1 1 [解析]y＝f(x)是y＝x与y＝－|x－1|＋2两者中的较小者，数形结合可知，函数的最 2大值为1. (理)(2011·山东烟台模拟)设函数y＝f(x)在(－∞，＋∞)内有定义，对于给定的正数K， ??fx定义函数fK(x)＝? ?K， ? ，fx≤K， fx>K. 取函数f(x)＝a－|x| 1 (a>1)．当K＝时，函数fK(x) a在下列区间上单调递减的是( ) A．(－∞，0) B．(－a，＋∞) C．(－∞，－1) D．(1，＋∞) [答案] D 1 a，a≤，??a1 [解析] 当K＝时，f(x)＝?a11 ，a>.??aa－|x| －|x| K－|x| - 7 - 1??a，x≤－1或x≥1，＝?1??a，－1 |x| 1 ∵a>1，∴0<<1，如图，作出函数fK(x)的图象可得其单调减区间为(1，＋∞)． a13．(文)(2011·上海交大附中月考)函数f(x)＝＋f(3)＋f(4)＝________. 7[答案] 2 1 111，则f()＋f()＋f()＋f(1)＋f(2)x＋1432 2 x2 x11xx1111 [解析]f(1)＝，f(x)＋f()＝2＋＝2＋2＝1，则f()＋f()＋f()＋ 2xx＋11x＋11＋x432 2＋1 2 2 2 xf(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝3＋＝. ?x＋bx＋c， ? (理)(2011·襄樊检测)设函数f(x)＝? ??2， x>0. 2 17 22 x≤0， 若f(－4)＝f(0)，f(－2) ＝－2，则关于x的方程f(x)＝x的解的个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 [答案] C [解析] 法一：若x≤0，则f(x)＝x＋bx＋c. ∵f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2， ??∴??? 2 －4－2 22 ＋b·－4＋c＝c， ＋b·－2＋c＝－2， ??b＝4， 解得? ?c＝2.? ?x＋4x＋2， ? ∴f(x)＝? ??2， x>0. 2 x≤0， - 8 - 当x≤0时，由f(x)＝x，得x＋4x＋2＝x， 解得x＝－2，或x＝－1； 当x>0时，由f(x)＝x，得x＝2. ∴方程f(x)＝x有3个解． 2 法二：由f(－4)＝f(0)且f(－2)＝－2，可得f(x)＝x＋bx＋c的对称轴是x＝－2，且顶点为(－2，－2)，于是可得到f(x)的简图(如图所示)．方程f(x)＝x的解的个数就是函数 2 y＝f(x)的图象与y＝x的图象的交点的个数，所以有3个解． 4 14．(2011·洛阳模拟)已知函数f(x)＝－1的定义域是[a，b](a，b∈Z)，值域是 |x|＋2[0,1]，则满足条件的整数数对(a，b)共有________个． [答案] 5 [解析] 由0≤ 44 －1≤1，即1≤≤2得 |x|＋2|x|＋2 0≤|x|≤2，满足条件的整数数对有(－2,0)，(－2,1)，(－2,2)，(0,2)，(－1,2)共5个． [点评] 数对(a，b)的取值必须能够使得|x|的取值最小值为0，最大值为2，才能满足 f(x)的值域为[0,1]的要求． 15．(文)已知函数f(x)＝的解析式． 2 [解析] 由f(2)＝1得＝1，即2a＋b＝2； 2a＋b由f(x)＝x得变形得x(x(ab≠0)，f(2)＝1，又方程f(x)＝x有唯一解，求f(x)ax＋bx＝x， ax＋b1 －1)＝0， ax＋b1－b解此方程得x＝0或x＝， a - 9 - 1－b又因方程有唯一解，∴＝0， a1解得b＝1，代入2a＋b＝2得a＝， 2∴f(x)＝2x. x＋2 (理)(2011·广东普宁模拟)已知函数f(x)＝lg(x＋－2)，其中a是大于0的常数． (1)求函数f(x)的定义域； (2)当a∈(1,4)时，求函数f(x)在[2，＋∞)上的最小值； (3)若对任意x∈[2，＋∞)恒有f(x)>0，试确定a的取值范围． axax2－2x＋a[解析] (1)由x＋－2>0，得>0， xxa>1时，x2－2x＋a>0恒成立，定义域为(0，＋∞)． a＝1时，定义域为{x|x>0且x≠1}， 0 aax2－a(2)设g(x)＝x＋－2，当a∈(1,4)，x∈[2，＋∞)时，g′(x)＝1－2＝2>0恒成立， xxx∴g(x)＝x＋－2在[2，＋∞)上是增函数． ∴f(x)＝lg(x＋－2)在[2，＋∞)上是增函数． ∴f(x)＝lg(x＋－2)在[2，＋∞)上的最小值为f(2)＝lg. x2 (3)对任意x∈[2，＋∞)恒有f(x)>0，即x＋－2>1对x∈[2，＋∞)恒成立． 32922 ∴a>3x－x，而h(x)＝3x－x＝－(x－)＋在x∈[2，＋∞)上是减函数，∴h(x)max＝h(2) 24＝2，∴a>2. 16．某自来水厂的蓄水池存有400t水，水厂每小时可向蓄水池中注水60t，同时蓄水池又向居民小区不间断供水，th内供水总量为1206t t，(0≤t≤24)． (1)从供水开始到第几小时时，蓄水池中的存水量最少？最少水量是多少吨？ (2)若蓄水池中水量少于80t时，就会出现供水紧张现象，请问在一天的24h内，有几小时出现供水紧张现象． [解析] (1)设th后蓄水池中的水量为yt， 则y＝400＋60t－1206t(0≤t≤24) 令6t＝x，则x＝6t且0≤x≤12， - 10 - 2 axaxaaax
高考数学总复习 2-1函数及其表示基础巩固强化练习 新人教A版
