将f?x?按第n?1列展开，得
f?x??A1,n?1?A2,n?1x???An,n?1xn?1?An?1,n?1xn，
其中，xn?1的系数为
An,n?1???1?又根据范德蒙德行列式的结果知
n??n?1?Dn??Dn.
f?x???x?x1??x?x2???x?xn?由上式可求得xn?11?j?i?n??xi?xj?.
的系数为
??x1?x2?xn?故有
1?j?i?n??xi?xj?.
Dn??x1?x2???xn? 特征值法
3.3.1 概念及计算方法
1?j?i?n??xi?xj?.
??n是n级矩阵A的全部特征值，则有公式 设?1，?2，A??1?2??n.
故只要能求出矩阵A的全部特征值，那么就可以计算出A的行列式． 3.3.2 例题解析
??n是n级矩阵A的全部特征值，证明：A可逆当且仅当它的特征值全不为例13 若?1，?2，零．
证明：因为A??1?2??n，则
A可逆?A?0??1?2??n?0??i?0?i?1,2?n?.
即
A可逆当且仅当它的特征值全不为零．
4、几类特殊的行列式的巧妙计算技巧和方法 三角形行列式 4.1.1 概念
a11形如
a12a22a13?a23?a33??a1na11a2na21a22a3n，a31a32a33?????annan1an2an3?这样的行列式，形状像个三角形，
ann故称为“三角形”行列式． 4.1.2 计算方法 由行列式的定义可知，
a11a12a130a22a2300a33???000 “爪”字型行列式 4.2.1 概念
?????a1na1100a2na21a220a3n?a11a22?ann,a31a32a33????annan1an2an3?????000?a11a22?ann. ?anna0b1c1a1形如c2?cnan?a2bn?b2b2a2?bn，
bn?b2a2b1a1?anan?a0cnc1?c2，c2?c1a1cna0b1an?a2b2?bn，
a1b1cn?c2这样的行列式，形状像个“爪”字，故称它们为“爪”字型行列式． c1a04.2.2 计算方法
利用对角线消去行列式中的“横线”或“竖线”，均可把行列式化成“三角形”行列式．此
方法可归纳为：“爪”字对角消竖横． 4.2.3 例题解析
a111a2例14 计算行列式1?11a3?1，其中ai?0,i?1,2,?n.
?an分析：这是一个典型的“爪”字型行列式，计算时可将行列式的第i(i?2,3,?n.)列元素乘以
?1后都加到第一列上，原行列式可化为三角形行列式． aia111a2解:1?11a3?1 ?a1??i?2n?an00?01ai1a21a3?1
?ann?1?a2a3?an?a??1?ai?2i????. ? “么”字型行列式 4.3.1 概念
形如
c1a0ancn??c2a1b1?a2b2cn?ana0b1，b2bnc1a1bnc2a2??ancn，
，
?b2a2??b1a1c2a0c1，
?bncnana0c1anb1a1c2?cnb2a2?a2c2a1c1bn?b2，b1a0bn?b2b1a1a0c1bn，
a2c2???cnanancn??a2b2bn?c2a1b1，
c1a0cnan??c2a2c1a1a0b1b2这样的行列式，形状像个“么”字，因此常b1bn称它们为“么”字型行列式． 4.3.2 计算方法
利用“么”字的一个撇消去另一个撇，就可以把行列式化为三角形行列式．此方法可以归纳为：“么”字两撇相互消．
注意：消第一撇的方向是沿着“么”的方向，从后向前，利用an消去cn，然后再用an?1消去cn?1，依次类推． 4.3.3 例题解析
11例15 计算n?1阶行列式Dn?1??1b1??bn?1bn.
?1??1?1?1??解：从最后一行开始后一行加到前一行（即消去第一撇），得
?1??bi?1Dn?1???1?1n?n?3?2n????1??bi?i?1??.
n? ???1???bn?1?bnbni?1?bni?1in?n?1?2n?????1???1??bi?
i?1??n???1? “两线”型行列式
4.4.1 概念
a10形如?0bnb1a2?000b2?00?0?0??这样的行列式叫做“两线型”行列式． ?bn?1?an4.4.2 计算方法
对于这样的行列式，可通过直接展开法求解． 4.4.3 例题解析
a10例16 求行列式Dn??0bn解：按第一列展开，得
b1a2?000b2?00?0?0??. ?bn?1?ana2Dn?1b2?0?bn?1ann?1b1?bn??1?n?10?00 ?bn?1????a100?00?a2b2????00??a1a2?an???1?b1b2?bn.
“三对角”型行列式 4.5.1 概念
a?b1形如
aba?b1?000ab000?0?000?a?b1000 这样的行列式，叫做“三对角型”行?aba?b0?00a?bab0?????00000?0?列式． 4.5.2 计算方法
行列式的计算技巧与方法总结(修改版)
