行列式的若干计算技巧与方法
内容摘要 1. 行列式的性质
2.行列式计算的几种常见技巧和方法 定义法
利用行列式的性质 降阶法
升阶法（加边法） 数学归纳法 递推法
3. 行列式计算的几种特殊技巧和方法 拆行（列）法 构造法 特征值法
4. 几类特殊行列式的计算技巧和方法 三角形行列式 “爪”字型行列式 “么”字型行列式 “两线”型行列式 “三对角”型行列式 范德蒙德行列式
5. 行列式的计算方法的综合运用 降阶法和递推法
逐行相加减和套用范德蒙德行列式
构造法和套用范德蒙德行列式
行列式的性质
性质1 行列互换，行列式不变．即
a11a21a12?a22?a1na2n?anna11?a21?an1an2 . ?ann???an1an2?a12a22????a1na2n?性质2 一个数乘行列式的一行（或列），等于用这个数乘此行列式．即
a11?kai1?an1a12?kai2?an2a11a12?a1n?a1n???????kain?kai1ai2?ain.
??????an1an2?ann?ann性质3 如果行列式的某一行（或列）是两组数的和，那么该行列式就等于两个行列式的和，且这两个行列式除去该行（或列）以外的各行（或列）全与原来行列式的对应的行（或列）一样．即
a11a12Ka1na11a12Ka1na11a12Ka1nMMMMMMMMMMMMb1?c1b2?c2Kbn?cn?b1b2Kbn?c1c2Kcn. Man1Man2MKMannMMMMan1an2KannMMMMan1an2Kann性质4 如果行列式中有两行（或列）对应元素相同或成比例，那么行列式为零．即
a11?ai1?kai1?an1a12?a1na11a12?a1n???????ai2?ainai1ai2?ain????k????=0. kai2?kainai1ai2?ain???????an2?annan1an2?ann性质5 把一行的倍数加到另一行，行列式不变．即
a11?ai1?cak1?ak1?an1a12?ai2?cak2?ak2?an2?a1na11a12?a1n???????ain?caknai1ai2?ain?????. ???aknak1ak2?akn???????annan1an2?ann性质6 对换行列式中两行的位置，行列式反号.即
a11a12?a1na11a12?a1n????????ai1ai2?ainak1ak2?akn????????=-.
ak1ak2?aknai1ai2?ain????????an1an2?annan1an2?ann性质7 行列式一行（或列）元素全为零，则行列式为零．即
a11a12?a1,n-1????00?0????an1an2?an,n-1
2、行列式的几种常见计算技巧和方法 定义法
a1n?0?0. ?ann适用于任何类型行列式的计算，但当阶数较多、数字较大时，计算量大，有一定的局限性．
0001例1 计算行列式
002003004000.
解析：这是一个四级行列式，在展开式中应该有4！?24项，但由于出现很多的零，所以不等于零的项数就大大减少．具体的说，展开式中的项的一般形式是a1j1a2j2a3j3a4j4．显然，如果j1?4，那么a1j1?0，从而这个项就等于零．因此只须考虑j1?4的项，同理只须考虑
j2?3,j3?2,j4?1的这些项，这就是说，行列式中不为零的项只有a14a23a32a41，而
??4321??6，所以此项取正号．故
0001002003004000 利用行列式的性质
即把已知行列式通过行列式的性质化为上三角形或下三角形.该方法适用于低阶行列式． 2.2.1 化三角形法
上、下三角形行列式的形式及其值分别如下：
=??1???4321?a14a23a32a41?24.
a11a12a130a22a2300a33???000?????a1100a1na21a220a2na3n?a11a22?ann，a31a32a33????an1an2an3ann?????000?a11a22?ann. ?ann1例2 计算行列式Dn?1?a1a2?a2???a2?anan. ?an?bn1a1?b1??1a1解析：观察行列式的特点，主对角线下方的元素与第一行元素对应相同，故用第一行的??1?倍加到下面各行便可使主对角线下方的元素全部变为零．即：化为上三角形．
解：将该行列式第一行的??1?倍分别加到第2,3…（n?1）行上去，可得
行列式的计算技巧与方法总结(修改版)
