高中数学函数与方程知识点总结经典例题及解析高考真题及答案

1、函数零点的定义

（1）对于函数y?f(x)，我们把方程f(x)?0的实数根叫做函数y?（2）方程f(x)?0有实根?函数y?f(x)的零点。

f(x)的图像与x轴有交点?函数y?f(x)有零点。因此判断一

个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f(x)?0是否有实数根，有几个实数根。函数零点的求法：解方程f(x)?0，所得实数根就是f(x)的零点 （3）变号零点与不变号零点

①若函数f(x)在零点x0左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数f(x)的变号零点。 ②若函数f(x)在零点x0左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数f(x)的不变号零点。

③若函数f(x)在区间?a,b?上的图像是一条连续的曲线，则f(a)f(b)?0是f(x)在区间?a,b?内有零点的充分不必要条件。

2、函数零点的判定

（1）零点存在性定理：如果函数y?f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的曲线，并且有

f(a)?f(b)?0，那么，函数y?f(x)在区间?a,b?内有零点，即存在x0?(a,b)，使得f(x0)?0，这个x0也

就是方程f(x)?0的根。

（2）函数y?f(x)零点个数（或方程f(x)?0实数根的个数）确定方法 ① 代数法：函数y?f(x)的零点?f(x)?0的根；

②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y?f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点。

（3）零点个数确定

??0?y?f(x)有2个零点?f(x)?0有两个不等实根；

??0?y?f(x)有1个零点?f(x)?0有两个相等实根；

??0?y?f(x)无零点?f(x)?0无实根；对于二次函数在区间?a,b?上的零点个数，要结合图像进

行确定. 4、 二分法

（1）二分法的定义:对于在区间[a,b]上连续不断且f(a)?f(b)?0的函数y?f(x),通过不断地把函数

y?f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点的近似值的方法叫做

二分法;

（2）用二分法求方程的近似解的步骤:

① 确定区间[a,b],验证f(a)?f(b)?0,给定精确度?; ②求区间(a,b)的中点c; ③计算f(c);

(ⅰ)若f(c)?0,则c就是函数的零点;

(ⅱ) 若f(a)?f(c)?0,则令b?c(此时零点x0?(a,c)); (ⅲ) 若f(c)?f(b)?0,则令a?c(此时零点x0?(c,b));

④判断是否达到精确度?,即a?b??,则得到零点近似值为a(或b);否则重复②至④步.

【经典例题】

【例1】 函数f(x)=2+x?2在区间(0,1)内的零点个数是 （ ）

A、0 B、1 C、2 D、3 【答案】B

【解析】解法1：因为f(0)=1+0?2=?1，f(1)=2+2?2=8，即内连续不断，故f(x)在(0,1)内的零点个数是1.

解法2：设y1=2，y2=2?x，在同一坐标系中作出两函数的图像如图所示：可知B正确. 【例2】 函数 f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是 ( )

A、(－2，－1) B、(－1,0) C、(0,1) D、(1,2) 【答案】B

5－

【解析】∵ f(－1)＝21＋3×(－1)＝－<0，

2

0

f(0)＝2＋0＝1>0， ∴ f(－1) f(0)<0.

∴ f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间为(－1,0)．

x3x33f(0)?f(1)<0且函数f(x)在(0,1)【例3】若函数f(x)?ax?x?a (a?0且a?1)有两个零点，则实数a的取值范围是 . 【答案】（1，??）【解析】?函数f(x)=ax?x?a (a?0且a?1)有两个零点，?方程ax?x?a?0有两个不相等

x的实数根，即两个函数y?a与y?x?a的图像有两个不同的交点，当0?a?1时，两个函数的

图像有且仅有一个交点，不合题意；当a?1时，两个函数的图像有两个交点，满足题意.

【例4】设函数f(x)(x?R)满足f(?x)=f(x)，f(x)=f(2?x)，且当x?[0,1]时，f(x)=x3.又函数g(x)= |xcos(?x)|，则函数h(x)=g(x)-f(x)在[?13,]上的零点个数为 （ ） 22A、5 B、6 C、7 D、8 【答案】B

【解析】因为当x?[0,1]时，f(x)=x3. 所以当x?[1,2]时，(2?x)?[0,1]，

f(x)?f(2?x)?(2?x)3，

当x?[0,]时，g(x)?xcos(?x)；当x?[,]时，g(x)??xcos(?x)，注意到函数f(x)、 g(x)

12132213221113除了0、1这两个零点之外，分别在区间[?,0]、[0,]、[,1]、[1,]上各有一个零点，共有6个零点，

2222故选B

【例5】函数f(x)?xcosx在区间[0,4]上的零点个数为 （ ） A、4 B、5

【答案】C

C、6

D、7

2都是偶函数，且f(0)= g(0)， f(1)= g(1)，g()?g()?0，作出函数f(x)、 g(x)的大致图象，函数h(x)

π

【解析】：f(x)=0，则x=0或cosx2=0，x2=kπ+ ,k∈Z，又x∈[0,4]，k=0,1,2,3,4，所以共有6个解．选C．

2【例6】函数f(x)?x?cosx在[0,??)内 （ ）

A、没有零点 B、有且仅有一个零点 C、有且仅有两个零点 D、有无穷多个零点 【答案】B

【解析】解法一：数形结合法，令f(x)?x?cosx?0，则x?cosx，设函数y?x和y?cosx，它们在[0,??)的图像如图所示，显然两函数的图像的交点有且只有一个，所以函数

f(x)?x?cosx在[0,??)内有且仅有一个零点；

解法二：在x?[?2,??)上，x?1，cosx?1，所以f(x)?x?cosx?0；

12x?sinx?0，所以函数f(x)?x?cosx是增函数，又因为

在x?(0,?2]，f?(x)?????0，所以f(x)?x?cosx在x?[0,]上有且只有一个零点． f(0)??1，f()?222?a，a－b≤1，?

【例7】对实数a和b，定义运算“?”：a?b＝?设函数f(x)＝(x2－2)?(x－x2)，x∈R，若函数y

?b，a－b>1.?

＝f(x)－c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是 ( )

33－1，? B、(－∞，－2]∪?－1，－? A、(－∞，－2]∪?2?4???1131

－1，?∪?，＋∞? D、?－1，－?∪?，＋∞? C、?4??44??4????

【答案】B

??x－2，x－2－(x－x)≤1，

【解析】f(x)＝? ＝?3?x－x2，x2－2－(x－x2)>1x－x2，x<－1，或x>，

2

2

2

3

x2－2，－1≤x≤，2

?

2

则f(x)的图象如图

∵ y＝f(x)－c的图象与x轴恰有两个公共点， ∴ y＝f(x)与y＝c的图象恰有两个公共点，

3

由图象知c≤－2，或－1

4

【例8】已知函数f（x）=logax?x?b(a＞0，且a?1).当2＜a＜3＜b＜4时，函数f（x）的零点

x0?(n,n?1),n?N*,则n= .

【答案】5

【解析】方程logax?x?b(a＞0，且a?1)=0的根为x0,即函数y?logax(2?a?3)的图象与函数

y?x?b(3?b?4)的交点横坐标为x0,且x0?(n,n?1),n?N*,结合图象,因为当x?a(2?a?3)时,y?1,此时对应直线上y?1的点的横坐标x?1?b?(4,5);当y?2时, 对数函数

y?logax(2?a?3)的图象上点的横坐标x?(4,9),直线y?x?b(3?b?4)的图象上点的横坐标

x?(5,6),故所求的n?5.

【例9】求下列函数的零点：

（1）f(x)?x?2x?x?2； （2）

32f(x)?x?34. x2【答案】（1）2,1，-1.（2）2，-2. 【解析】（1）由x?2x?x?2?0,

故函数的零点是2，1，-1.

4x2?4?0, （2）由x??0,得xx故函数的零点是2，-2.

【例10】判断函数y＝x3－x－1在区间[1,1.5]内有无零点，如果有，求出一个近似零点(精确度0.1)． 【答案】1.312 5

【解析】 因为f(1)＝－1<0，f(1.5)＝0.875>0，且函数y＝x3－x－1的图象是连续的曲线，所以它在区间[1,1.5]内有零点，用二分法逐次计算，列表如下：

区间 (1,1.5) (1.25,1.5) (1.25,1.375) (1.312 5,1.375) 中点值 1.25 1.375 1.312 5 1.343 75 中点函数近似值 －0.3 0.22 －0.05 0.08 由于|1.375－1.312 5|＝0.062 5<0.1， 所以函数的一个近似零点为1.312 5.

【课堂练习】

1、在下列区间中，函数f(x)?e?4x?3的零点所在的区间为 （ ）

x111113,0) B、(0,) C、(,) D、(,) 4442242、若x0是方程lgx?x?2的解，则x0属于区间 （ ）

A、(0,1) B、(1,1.25) C、(1.25,1.75) D、(1.75,2)

A、(?3、下列函数中能用二分法求零点的是 ( ) 4、函数f?x?=2x+3x的零点所在的一个区间是 （ ）

A．（-2,-1） B、（-1，0） C、（0，1） D、（1，2）

5、设函数f?x?=4sin（2x+1）-x，则在下列区间中函数f?x?不存在零点的是 （ ） A、[-4,-2] B、[-2,0] C、[0,2] D、[2,4] 6、函数

f?x?=x-cosx在[0，??﹚内 （ ）

A、没有零点 B、有且仅有一个零点 C、有且仅有两个零点 D、有无穷多个零点

7、若函数f(x)的零点与g(x)?4x?2x?2的零点之差的绝对值不超过0.25，则f(x)可以是（ A、

f(x)?4x?1 B、f(x)?(x?1)2 C、f(x)?ex?1 D、f(x)?ln(x?12)8、下列函数零点不宜用二分法的是 ( )

A、f(x)?x3?8 B、f(x)?lnx?3 C、f(x)?x2?22x?2 D、

f(x)??x2?4x?1

9、函数f(x)=log2x+2x-1的零点必落在区间 （ ）

A、??1,1???84? B、??1,1???42?

C、??1,1???2?

D、(1,2)

10、lgx?1x?0有解的区域是 （ ） A、(0,1] B、(1,10] C、(10,100] D、(100,??)

11、在下列区间中，函数f(x)?ex?4x?3的零点所在的区间为 （ ）

A、(?14,0) B、 (0,1) C、(1,1) D、(1,344224) 12、函数f(x)??x?log2x的零点所在区间为（ ）

A、[0,1]18 B、[

8,1

4

] C、[1,1] 142 D、[2,1] 13、设f?x??3x?3x?8,用二分法求方程3x?3x?8?0在x??1,2?内近似解的过程中得

f?1??0,f?1.5??0,f?1.25??0,则方程的根落在区间（ ）

A、(1,1.25) B、(1.25,1.5) C、(1.5,2) D、不能确定 x)．

14、设函数f(x)?4sin(2x?1)?x，则在下列区间中函数f(不存在零点的是（ ） A、

??4,?2? B、 ??2,0? C、?0,2? D、?2,4?

15、函数f(x)???x2?2x?3,x?0， 零点个数为（ ）A、3 B、2 C、1 D、0

??2?lnx,x?016、若函数f(x)?x3?x2?2x?2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：

）