函数与方程
【知识梳理】
1、函数零点的定义
（1）对于函数y?f(x)，我们把方程f(x)?0的实数根叫做函数y?（2）方程f(x)?0有实根?函数y?f(x)的零点。
f(x)的图像与x轴有交点?函数y?f(x)有零点。因此判断一
个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f(x)?0是否有实数根，有几个实数根。函数零点的求法：解方程f(x)?0，所得实数根就是f(x)的零点 （3）变号零点与不变号零点
①若函数f(x)在零点x0左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数f(x)的变号零点。 ②若函数f(x)在零点x0左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数f(x)的不变号零点。
③若函数f(x)在区间?a,b?上的图像是一条连续的曲线，则f(a)f(b)?0是f(x)在区间?a,b?内有零点的充分不必要条件。
2、函数零点的判定
（1）零点存在性定理：如果函数y?f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的曲线，并且有
f(a)?f(b)?0，那么，函数y?f(x)在区间?a,b?内有零点，即存在x0?(a,b)，使得f(x0)?0，这个x0也
就是方程f(x)?0的根。
（2）函数y?f(x)零点个数（或方程f(x)?0实数根的个数）确定方法 ① 代数法：函数y?f(x)的零点?f(x)?0的根；
②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y?f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点。
（3）零点个数确定
??0?y?f(x)有2个零点?f(x)?0有两个不等实根；
??0?y?f(x)有1个零点?f(x)?0有两个相等实根；
??0?y?f(x)无零点?f(x)?0无实根；对于二次函数在区间?a,b?上的零点个数，要结合图像进
行确定. 1、 二分法
（1）二分法的定义:对于在区间[a,b]上连续不断且f(a)?f(b)?0的函数y?f(x),通过不断地把函数
y?f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点的近似值的方法叫做
二分法;
（2）用二分法求方程的近似解的步骤:
① 确定区间[a,b],验证f(a)?f(b)?0,给定精确度?;
②求区间(a,b)的中点c; ③计算f(c);
(ⅰ)若f(c)?0,则c就是函数的零点;
(ⅱ) 若f(a)?f(c)?0,则令b?c(此时零点x0?(a,c)); (ⅲ) 若f(c)?f(b)?0,则令a?c(此时零点x0?(c,b));
④判断是否达到精确度?,即a?b??,则得到零点近似值为a(或b);否则重复②至④步.
【经典例题】
1．函数f(x)=2+x?2在区间(0,1)内的零点个数是 （ ）
A、0 B、1 C、2 D、3 2．函数 f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是 ( )
A、(－2，－1) B、(－1,0) C、(0,1) D、(1,2)
x33．若函数f(x)?ax?x?a (a?0且a?1)有两个零点，则实数a的取值范围是 .
4．设函数f(x)(x?R)满足f(?x)=f(x)，f(x)=f(2?x)，且当x?[0,1]时，f(x)=x3.又函数g(x)= |xcos(?x)|，则函数h(x)=g(x)-f(x)在[?13,]上的零点个数为 （ ） 22A、5 B、6 C、7 D、8 5．函数f(x)?xcosx在区间[0,4]上的零点个数为 （ ）
A、4 B、5 6．函数f(x)?
C、6
D、7
2x?cosx在[0,??)内 （ ）
A、没有零点 B、有且仅有一个零点 C、有且仅有两个零点 D、有无穷多个零点
??a，a－b≤1，
7．对实数a和b，定义运算“?”：a?b＝?设函数f(x)＝(x2－2)?(x－x2)，x∈R，若函数y＝f(x)
??b，a－b>1.
－c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是 ( )
33－1，? B、(－∞，－2]∪?－1，－? A、(－∞，－2]∪?2?4???1131
－1，?∪?，＋∞? D、?－1，－?∪?，＋∞? C、?4??44??4????
8．已知函数f（x）=logax?x?b(a＞0，且a?1).当2＜a＜3＜b＜4时，函数f（x）的零点
x0?(n,n?1),n?N*,则n= .
9．求下列函数的零点：
（1）f(x)?x?2x?x?2； （2）
32f(x)?x?4. x10．判断函数y＝x3－x－1在区间[1,1.5]内有无零点，如果有，求出一个近似零点(精确度0.1)．
【课堂练习】
1、在下列区间中，函数f(x)?ex?4x?3的零点所在的区间为 （ ）
A、(?14,0) B、(0,14) C、(14,12) D、(132,4) 2、若x0是方程lgx?x?2的解，则x0属于区间 （ ）
A、(0,1) B、(1,1.25) C、(1.25,1.75) D、(1.75,2)
3、下列函数中能用二分法求零点的是 ( ) 4、函数f?x?=2x+3x的零点所在的一个区间是 （ ）
A．（-2,-1） B、（-1，0） C、（0，1） D、（1，2）
5、设函数f?x?=4sin（2x+1）-x，则在下列区间中函数f?x?不存在零点的是 （ ） A、[-4,-2] B、[-2,0] C、[0,2] D、[2,4] 6、函数
f?x?=x-cosx在[0，??﹚内 （ ）
A、没有零点 B、有且仅有一个零点 C、有且仅有两个零点 D、有无穷多个零点
7、若函数
f(x)的零点与g(x)?4x?2x?2的零点之差的绝对值不超过0.25，则f(x)可以是（ A、f(x)?4x?1 B、f(x)?(x?1)2 C、f(x)?ex?1 D、f(x)?ln(x?12)8、下列函数零点不宜用二分法的是 ( )
A、f(x)?x3?8 B、f(x)?lnx?3 C、f(x)?x2?22x?2 D、
f(x)??x2?4x?1
9、函数f(x)=log2x+2x-1的零点必落在区间 （ ）
A、??1,1???11??1?84? B、??4,2??
C、?,1???2?
D、(1,2)
10、lgx?1x?0有解的区域是 （ ） A、(0,1] B、(1,10] C、(10,100] D、(100,??)
11、在下列区间中，函数f(x)?ex?4x?3的零点所在的区间为 （ ）
A、(?1,0) B、 (0,1111344) C、(4,2) D、(2,4) 12、函数f(x)??x?log2x的零点所在区间为（ ）
A、[0,18] B、[
18,1
4
] C、[114,2] D、[12,1] 13、设f?x??3x?3x?8,用二分法求方程3x?3x?8?0在x??1,2?内近似解的过程中得
f?1??0,f?1.5??0,f?1.25??0,则方程的根落在区间（ ）
A、(1,1.25) B、(1.25,1.5) C、(1.5,2) D、不能确定 f(x)?4sin(2x?1)?x．
14、设函数，则在下列区间中函数f(x)不存在零点的是（ ） A、
??4,?2? B、 ??2,0? C、?0,2? D、?2,4?
）
高中数学函数与方程知识点总结经典例题及解析高考真题及答案
