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第5讲 椭 圆
1．椭圆的定义
条件 平面内的动点M与平面内的两个定点F1,F2 |MF1|＋|MF2|＝2a 2a＞|F1F2| 2.椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 x2y2＋＝1(a＞b＞0) a2b2y2x2＋＝1(a＞b＞0) a2b2结论1 M点的 轨迹为 椭圆 结论2 F1、F2为椭圆的焦点 |F1F2|为椭圆的焦距 图形 －a≤x≤a －b≤y≤b 对称轴:x轴、y轴 对称中心:(0,0) A1(－a,0),A2(a,0) B1(0,－b),B2(0,b) A1(0,－a),A2(0,a) B1(－b,0),B2(b,0) －b≤x≤b －a≤y≤a 范围 对称性 顶点 性质 轴 焦距 离心率 a,b,c的关系 3.点与椭圆的位置关系 长轴A1A2的长为2a 短轴B1B2的长为2b |F1F2|＝2c ce＝,e∈(0,1) ac2＝a2－b2 x2y2
已知点P(x0,y0),椭圆2＋2＝1(a>b>0),则
ab
2x0y20
(1)点P(x0,y0)在椭圆内?2＋2<1;
ab2x0y20
(2)点P(x0,y0)在椭圆上?2＋2＝1;
ab2x0y20
(3)点P(x0,y0)在椭圆外?2＋2>1.
ab
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4．椭圆中四个常用结论
(1)P是椭圆上一点,F为椭圆的焦点,则|PF|∈[a－c,a＋c],即椭圆上的点到焦点距离的最大值为a＋c,最小值为a－c.
2b2
(2)椭圆的通径(过焦点且垂直于长轴的弦)长为,通径是最短的焦点弦．
a
(3)P是椭圆上不同于长轴两端点的任意一点,F1,F2为椭圆的两焦点,则△PF1F2的周长为2(a＋c)．
(4)设P,A,B是椭圆上不同的三点,其中A,B关于原点对称,直线PA,PB斜率存在且不为0,b2
则直线PA与PB的斜率之积为定值－2.
a
[疑误辨析]
判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．( ) (2)椭圆的离心率e越大,椭圆就越圆．( ) (3)椭圆既是轴对称图形,又是中心对称图形．( )
(4)方程mx2＋ny2＝1(m>0,n>0,m≠n)表示的曲线是椭圆．( ) x2y2y2x2
(5)2＋2＝1(a>b>0)与2＋2＝1(a>b>0)的焦距相同．( ) abab答案:(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√ [教材衍化]
1．(选修2-1P40例1改编)若F1(－3,0),F2(3,0),点P到F1,F2距离之和为10,则P点的轨迹方程是( )
x2y2
A.＋＝1 2516y2x2
C.＋＝1 2516
x2y2
B.＋＝1 1009
x2y2y2x2
D.＋＝1或＋＝1 25162516
解析:选A.设点P的坐标为(x,y),因为|PF1|＋|PF2|＝10>|F1F2|＝6,所以点P的轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆,其中a＝5,c＝3,b＝A.
2．(选修2-1P49A组T6改编)设椭圆的两个焦点分别为F1,F2,过点F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,若△F1PF2为等腰直角三角形,则椭圆的离心率是( )
A.2
2
B.2－1
2
a2－c2＝4,故点
x2y2
P的轨迹方程为＋＝1.故选
2516
C．2－2 D.2－1
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a2－c2x2y2b2
解析:选D.设椭圆方程为2＋2＝1,依题意,显然有|PF2|＝|F1F2|,则＝2c,即＝2c,
abaa即e2＋2e－1＝0,又0 [易错纠偏] (1)忽视椭圆定义中的限制条件; (2)忽视椭圆标准方程中焦点位置的讨论; (3)忽视点P坐标的限制条件． 1．平面内一点M到两定点F1(0,－9),F2(0,9)的距离之和等于18,则点M的轨迹是________． 解析:由题意知|MF1|＋|MF2|＝18,但|F1F2|＝18,即|MF1|＋|MF2|＝|F1F2|,所以点M的轨迹是一条线段． 答案:线段F1F2 x2y2 2．椭圆＋＝1的焦距为4,则m＝________． 10－mm－2 解析:当焦点在x轴上时,10－m>m－2>0,10－m－(m－2)＝4,所以m＝4.当焦点在y轴上时,m－2>10－m>0,m－2－(10－m)＝4,所以m＝8.所以m＝4或8. 答案:4或8 x2y2 3．已知点P是椭圆＋＝1上y轴右侧的一点,且以点P及焦点F1,F2为顶点的三角形 54的面积等于1,则点P的坐标为________． 解析:设P(x,y),由题意知c2＝a2－b2＝5－4＝1,所以c＝1,则F1(－1,0),F2(1,0)．由题意x2y215可得点P到x轴的距离为1,所以y＝±1,把y＝±1代入＋＝1,得x＝±,又x>0,所以x 542 ?15??15? 15＝,所以P点坐标为?2?或?2?. 2???? ?1??－1? ?15??15?答案:?2?或?2? ???? ?1??－1? 椭圆的定义及应用 x2y2 (1)(2019·高考浙江卷)已知椭圆＋＝1的左焦点为F,点P在椭圆上且在x轴的 95 上方．若线段PF的中点在以原点O为圆心,|OF|为半径的圆上,则直线PF的斜率是________． x2y2 (2)(2020·杭州模拟)已知F1、F2是椭圆C:2＋2＝1(a＞b＞0)的两个焦点,P为椭圆C上 ab
浙江新高考数学一轮复习讲义 第9章 5 第5讲 椭圆
