课后跟踪训练(六十)
x2y2
1．(2019·新疆乌鲁木齐联考)已知椭圆C：a2＋b2＝1(a>b>0)的焦
?2?距为2，且过点?1，?.
2??
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点M(2,0)的直线交椭圆C于A，B两点，P为椭圆C上一点，→→→?26?
?O为坐标原点，且满足OA＋OB＝tOP，其中t∈，2?，求|AB|的3??取值范围．
22
a＝b＋1，2???a＝2，
[解] (1)依题意得?1解得?2 1
?b＝1，?
?a2＋2b2＝1，
x22
∴椭圆C的方程为2＋y＝1.
(2)由题意可知，直线AB的斜率存在，设其方程为y＝k(x－2)．由
?y＝k?x－2?，?x22
?2＋y＝1
得(1＋2k2)x2－8k2x＋8k2－2＝0.
1
∴Δ＝8(1－2k)>0，解得k<2. 2
2
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
?则?4k
y＋y＝k?x＋x－4?＝－.?1＋2k
1
2
1
2
2
2
16k
代入椭圆C的方程得t2＝.
1＋2k2
8k2－28k2
x1＋x2＝，xx＝，1＋2k2121＋2k2
→→→?8k2－4k?由OA＋OB＝tOP得P?2，2?，
?t?1＋2k?t?1＋2k??
26121由3 2 22·1－2k ∴|AB|＝1＋k2· 1＋2k2 ＝2 21 ＋－1. ?1＋2k2?21＋2k2 ?12?1 令u＝，则u∈?2，3?， ??1＋2k2?25? ?. ∴|AB|＝22u＋u－1∈?0， 3?? 2 ?25??. ∴|AB|的取值范围为?0， 3?? 2．(2019·安徽亳州联考)已知抛物线E：y2＝2px(p>0)与过点M(a,0)(a>0)的直线l交于A，B两点，且总有OA⊥OB． (1)确定p与a的数量关系； (2)若|OM|·|AB|＝λ|AM|·|MB|，求λ的取值范围． [解] (1)设l：ty＝x－a，A(x1，y1)，B(x2，y2)． 2??y＝2px， 由?消去x得y2－2pty－2pa＝0. ??ty＝x－a ∴y1＋y2＝2pt，y1y2＝－2pa， ?y1y2?2 由OA⊥OB得x1x2＋y1y2＝0，即4p2＋y1y2＝0， ∴a2－2pa＝0.∵a>0，∴a＝2p. (2)由(1)可得|AB|＝1＋t2|y1－y2|＝2p1＋t2·t2＋4. →→ |AM|·|MB|＝AM·MB＝(a－x1)(x2－a)－y1y2＝－x1x2＋a(x1＋x2)－ 22 y＋y122 a－y1y2＝a·2p－a2＝4p2(1＋t2)． ∵|OM|·|AB|＝λ|AM|·|MB|， ∴a·2p1＋t2t2＋4＝λ·4p2(1＋t2)， 4＋t2 ∴λ＝＝2 1＋t 1＋ 3. 1＋t2 ∵t2≥0，∴λ∈(1,2]． x2y2 3．(2019·陕西联考)已知椭圆a2＋b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1和F2，由4个点M(－a，b)，N(a，b)，F2和F1构成一个高为3，面积为33的等腰梯形． (1)求椭圆的方程； (2)过点F1的直线和椭圆交于A，B两点，求△F2AB面积的最大值． 2a＋2c [解] (1)由条件得b＝3，且2·3＝33，∴a＋c＝3. 又a2－c2＝3，解得a＝2，c＝1. x2y2 ∴椭圆的方程为4＋3＝1. (2)显然，直线AB的斜率不能为0. 设直线AB的方程为x＝my－1，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 22xy?＋＝1，联立?43 ?x＝my－1， 消去x得(3m2＋4)y2－6my－9＝0. ∵直线AB过椭圆内的点F，无论m为何值，直线和椭圆总相交， 6m9 又y1＋y2＝2，y1y2＝－2， 3m＋43m＋41 ∴S△F2AB＝2|F1F2||y1－y2|＝|y1－y2| ＝?y1＋y2?2－4y1y2＝12＝4 m2＋1 m2＋1 ?3m2＋4?2 1??2 ?m＋1＋?2 3??
2020版高考文科数学第一轮复习练习：第九章 解析几何 课后跟踪训练60 (1)
