函数的奇偶性
新课标剖析
当前形势 高考 要求
函数概念与指数函数、对数函数、幂函数在近五年北京卷(理)中考查5～15分
内容 奇偶性
要求层次 A
B √
C
具体要求
结合具体函数，了解奇偶性的含义．
北京 高考 解读
2008年 第2题 5分 第13题 5分
2009年 第3题5分 第13题5分
2010年（新课标） 2011年（新课标） 2012年(新课标) 第6题 5分 第14题 5分
第6题 5分 第8题 5分 第13题 5分
第14题5分
今天我们再学一个新的函数性质——奇偶性，我们按照从直观到数学表达的顺序进行讲解．因为奇偶性的判定比较容易，所以常见函数的奇偶性以及复合函数的奇偶性都直接结合例题适当拓展总结即可，不再单独作为考点给出．
4.1函数奇偶性的定义与判别
奇偶性的引入（直观）
直观：特殊的对称性．初中学过中心对称和轴对称，奇偶性正是反映这两个对称的问题的．
有些函数关于y轴对称：
1①y?x2 ②y??x ③y?2
x y y yOxx 像这样的关于y轴对称的函数叫做偶函数．
O
Ox
还有一类函数呈现标准的中心对称，即关于原点的中心对称：
①y?x： ②y? y y1 ③y?x3 ④y?3x x y yOxOxOxOx 象这样的关于原点中心对称的函数叫做奇函数．
例：根据图象判断以下函数的奇偶性：
① ② ③ ④ ⑤
y y y y y1O1xOxOxOxOx
偶 偶 非奇非偶 不是函数 奇函数
注意③不是偶函数，偶函数中y轴相当于一个镜子．对着镜子照，发现你有钮扣，镜子里没有；或者你带着手表，一照镜子，镜子里没有，像这种情况只有在《大家来找茬》里才有．
下面我们要从直观中寻找数学表达，先通过一些例子来总结总结规律．
例：直观判断下列函数的奇偶性（可以利用图象，或取值代入等方式）
112⑴f?x??x4；⑵f?x??；⑶f?x??3；⑷f?x??0；⑸f?x??；⑹f?x???．
xxx答案：⑴偶；⑵偶；⑶偶；⑷既奇又偶；⑸非奇非偶；⑹奇．
先看偶函数的数学表达：
总结：可以用数字验证，取一对相反数，若它们的值总是一样的，大概猜它是一个偶函数，这就是我
们总结出来的规律．那么怎么判断一个函数是偶函数呢？换言之，我们看什么情况下这个函数是偶函数？
任取x，在它对称的地方取?x，看它们函数值是否相等，若相等就是偶函数， 从而得到偶函数的数学表达：y?f?x?定义域为D，
①D关于原点对称（?任意x?D，有?x?D）；（如上面的图形③对应的函数就不可能是偶函数） ②任意x?D，f?x??f??x?，称f?x?为偶函数．
再看奇函数的数学表达：
任取一点x，存在另?x，使f?x?与f??x?互为相反数．（这就是关于原点中心对称） ∴对于奇函数有f??x???f?x?．
如果f?x??f??x?，?f?x??f??x?，则是非奇非偶函数．
考点1：函数奇偶性的定义与判定
1．奇函数：如果对于函数y?f(x)的定义域D内任意一个x，都有?x?D，且f(?x)??f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数；
2．偶函数：如果对于函数y?g(x)的定义域D内任意一个x，都有?x?D，且g(?x)?g(x)，那么函数g(x)就叫做偶函数．
3．图象特征：如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，
反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数；
如果一个函数是偶函数，则它的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形，反之，如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数．
知识点睛
113是偶函数．⑵证明：是奇函数． ?1g(x)?x?2xx0??0，???， 答案：⑴先看定义域：定义域为???，练习1：⑴证明：f?x??x4?f??x????x??41??x?2?1?x4?1?1?f?x?，∴f?x?为偶函数． x20?⑵先看定义域：定义域为???，?0，???，
g(?x)?(?x)3?11?????x3????g(x)．∴g(x)为奇函数． ?xx??
<教师备案> 判断一个函数的奇偶性先看定义域是否对称，定义域[?1，0)(0，1]，R都是对称的定义
域；而[0，??)，[?1，1)就不是对称的定义域，这样的函数一定是非奇非偶的．
在一个函数的定义域是对称的基础上考查每个x，看f(x)与f(?x)是否相等或互为相反
数．函数的奇偶性是整体性，这与单调性截然不同．
【铺垫】判断下列函数的奇偶性：
①f(x)?3x；②f(x)?3x?1；③f(x)?x4?1；
1④f(x)?x?；⑤f(x)?x2?x?1；⑥f(x)?x2?x?1．
x【解析】 ①奇；②非奇非偶；③偶；④奇；⑤非奇非偶；⑥偶．
【例1】 将下列函数按照奇偶性分类：
1?；②f(x)?0，x???1，1?；③f(x)?①f(x)?x2，x???1，经典精讲
1； x?1④f(x)?x?1?1?x；⑤f(x)?1?x2?x2?1； ⑥f(x)?x3?x1?x21?x?(x?1)； ；⑦f?x??； ⑧f(x)?22?|x?2|1?xx?1
高中数学 函数的奇偶性
