2024版高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形第6讲正弦定理和余弦定理练习理北师大版

高考总复习

第6讲 正弦定理和余弦定理

[基础题组练]

1．(2024·湖北武汉调研测试)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知aπ

＝3b，A－B＝，则角C＝( )

2

A.C.

π

12π 4

πB．

6πD．

3

ππ?π?解析：选B.因为在△ABC中，A－B＝，所以A＝B＋，所以sin A＝sin?B＋?＝cos

2?22?

B，因为a＝3b，所以由正弦定理得sin A＝3sin B，所以cos B＝3sin B，所以tan Bππ?ππ3π?＝，因为B∈(0，π)，所以B＝，所以C＝π－?＋?－＝，故选B.

36?62?66

2．(2024·江西上饶一模)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，若2S＝(a＋b)－c，则tan C的值是( )

4A. 34C．－ 3

3B． 43D．－

4

2

2

1222

解析：选C.因为S＝absin C，c＝a＋b－2abcos C，

2所以由2S＝(a＋b)－c，

可得absin C＝(a＋b)－(a＋b－2ab·cos C)， 整理得sin C－2cos C＝2，所以(sin C－2cos C)＝4，

（sin C－2cos C）sinC＋4cosC－4sin Ccos C2

所以＝4，＝4，化简得3tanC＋4tan C2222

sinC＋cosCsinC＋cosC＝0，

因为C∈(0，π)， 4

所以tan C＝－，故选C.

3

3．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为( )

A．锐角三角形 C．钝角三角形

2

2

2

2

2

2

2

2

2

B．直角三角形 D．不确定

1

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解析：选B.因为bcos C＋ccos B＝asin A，所以由正弦定理得sin Bcos C＋sin Ccos

B＝sin2A，所以sin(B＋C)＝sin2A.又sin(B＋C)＝sin A且sin A≠0，所以sin A＝1，所

π

以A＝，所以△ABC为直角三角形，故选B.

2

4．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c.若角A，B，C依次成等差数列，且a＝1，b＝3，则S△ABC＝( )

A.2 C.3 2

B．3 D．2

2

2

解析：选C.因为A，B，C依次成等差数列，所以B＝60°，所以由余弦定理得b＝a132

＋c－2accos B，得c＝2，所以由正弦定理得S△ABC＝acsin B＝，故选C.

22

5．在△ABC中，已知a，b，c分别为角A，B，C的对边且∠A＝60°，若S△ABC＝2sin B＝3sin C，则△ABC的周长等于( )

A．5＋7 C．10＋7

B．12 D．5＋27

33

且2

解析：选A.在△ABC中，∠A＝60°.因为2sin B＝3sin C，故由正弦定理可得2b＝3c，331222

再由S△ABC＝＝bc·sin A，可得bc＝6，所以b＝3，c＝2.由余弦定理可得a＝b＋c22－2bc·cos A＝7，所以a＝7，故△ABC的周长为a＋b＋c＝5＋7，故选A.

6．(2024·河北衡水模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且有a＝1，3sin Acos C＋(3sin C＋b)cos A＝0，则A＝________．

解析：由3sin Acos C＋(3sin C＋b)cos A＝0，得3sin Acos C＋3sin Ccos A＝－bcos A，所以3sin (A＋C)＝－bcos A，即3sin B＝－bcos A，又＝，

sin Asin B3－basin A13

所以＝＝－，从而＝－?tan A＝－，又因为0

5π答案： 6

7．(2024·高考全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝6，a＝π

2c，B＝，则△ABC的面积为________．

3

ab 2

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π222

解析：法一：因为a＝2c，b＝6，B＝，所以由余弦定理b＝a＋c－2accos B，得62

3π122

＝(2c)＋c－2×2c×ccos ，得c＝23，所以a＝43，所以△ABC的面积S＝acsin B321π

＝×43×23×sin ＝63. 23

π222

法二：因为a＝2c，b＝6，B＝，所以由余弦定理b＝a＋c－2accos B，得62＝(2c)2

3ππ2222

＋c－2×2c×ccos ，得c＝23，所以a＝43，所以a＝b＋c，所以A＝，所以△ABC321

的面积S＝×23×6＝63.

2

答案：63

b72

8．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acos B－c－＝0，a＝bc，

22bb>c，则＝________．

cbsin B解析：由acos B－c－＝0及正弦定理可得sin AcosB－sin C－＝0.因为sin C22

sin B1

＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B，所以－－cos Asin B＝0，所以cos A＝－，

222π7b22222

即A＝.由余弦定理得a＝bc＝b＋c＋bc，即2b－5bc＋2c＝0，又b>c，所以＝2.

32c答案：2

9．(2024·河南郑州一模)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的

b2

面积为S，且满足sin B＝. 4S(1)求sin Asin C；

(2)若4cos Acos C＝3，b＝15，求△ABC的周长． 1b解：(1)因为△ABC的面积为S＝acsin B，sin B＝，

24S2

b?1?2

所以4×?acsin B?×sin B＝b，所以ac＝2，

2sinB?2?

sinB1

所以由正弦定理可得sin Asin C＝2＝.

2sinB21

(2)因为4cos Acos C＝3，sin Asin C＝，

2

131

所以cos B＝－cos(A＋C)＝sin Asin C－cos Acos C＝－＝－，

244

3

2

2

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（15）

因为b＝15，所以ac＝＝＝8， 2＝2

2sinB2（1－cosB）1??2×?1－?

?16?2132

所以由余弦定理可得15＝a＋c＋ac＝(a＋c)－ac＝(a＋c)－12，

22

2

2

b2b2

2

解得a＋c＝33，所以△ABC的周长为a＋b＋c＝33＋15.

10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且a＋c－b＝abcos A＋acos

(1)求角B；

(2)若b＝27，tan C＝

2

2

2

2

2

2

2

B．

3

，求△ABC的面积． 2

2

解：(1)因为a＋c－b＝abcos A＋acos B，所以由余弦定理，得2accos B＝abcos A＋acos B，

又a≠0，所以2ccos B＝bcos A＋acos B．由正弦定理，得2sin Ccos B＝sin Bcos A＋sin Acos B＝sin(A＋B)＝sin C，

1

又C∈(0，π)，sin C>0，所以cos B＝.

2π

因为B∈(0，π)，所以B＝. 3(2)由tan C＝

32127，C∈(0，π)，得sin C＝，cos C＝，所以sin A＝sin(B＋277

327121321

×＋×＝. 272714

2

C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C＝

321

27×

14abbsin A1

由正弦定理＝，得a＝＝＝6，所以△ABC的面积为absin

sin Asin Bsin B23

2

C＝×6×27×

1221

＝63. 7

[综合题组练]

2a－ccos C1．(2024·安徽六安模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＝，

bcos Bb＝4，则△ABC的面积的最大值为( )

A．43 C．2

B．23 D．3

2a－ccos C解析：选A.因为在△ABC中，＝，

bcos B

4

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所以(2a－c)cos B＝bcos C，

所以(2sin A－sin C)cos B＝sin Bcos C，

所以2sin Acos B＝sin Ccos B＋sin Bcos C＝sin(B＋C)＝sin A，

1π2222

所以cos B＝，即B＝，由余弦定理可得16＝a＋c－2accos B＝a＋c－ac≥2ac－

23

ac，所以ac≤16，当且仅当a＝c时取等号，

13

所以△ABC的面积S＝acsin B＝ac≤43.故选A.

24

2．(2024·江西抚州二模)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3acos A＝bcos C＋ccos B，b＋c＝3，则a的最小值为( )

A．1 C．2

B．3 D．3

解析：选B.在△ABC中，因为3acos A＝bcos C＋ccos B， 所以3sin Acos A＝sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin(B＋C)＝sin A， 1

即3sin Acos A＝sin A，又A∈(0，π)，所以sin A≠0，所以cos A＝.

3

因为b＋c＝3，所以两边平方可得b＋c＋2bc＝9，由b＋c≥2bc，可得9≥2bc＋2bc92222

＝4bc，解得bc≤，当且仅当b＝c时等号成立，所以由a＝b＋c－2bccos A，可得a＝

4

2

2

2

2

b2＋c2－bc＝(b＋c)2－

故选B.

238bc89

≥9－×＝3，当且仅当b＝c时等号成立，所以a的最小值为3.334

3．(2024·湖北恩施2月质检)在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，1

若cos B＝，b＝4，S△ABC＝42，则△ABC的周长为________．

3

1221122

解析：由cos B＝，得sin B＝，由三角形面积公式可得acsin B＝ac·＝

33223122222

42，则ac＝12①，由b＝a＋c－2accos B，可得16＝a2＋c2－2×12×，则a＋c＝24②，

3联立①②可得a＝c＝23，所以△ABC的周长为43＋4.

答案：43＋4

4．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且(a＋b－c)(acos B＋bcos A)＝abc.若a＋b＝2，则c的取值范围为________．

解析：在△ABC中，因为(a＋b－c)(acos B＋bcos A)＝abc，

2

2

2

2

2

2

a2＋b2－c2所以(acos B＋bcos A)＝c，

ab

5