福建省2024届高中毕业班数学学科备考关键问题指导系列五(函数与导数)

福建省2024届高中毕业班数学学科备考关键问题指导系列五

函数与导数

（福建省高三毕业班复习教学指导组，执笔：林伟）

函数与导数在高考考查中一般是两道选择题和一道解答题，或者一道选择题一道填空题和一道解答题，共3道题，分值为22分．高考对这一部分内容考查的难度相对稳定，其中一选择题为容易题为中等难度题，一选择题或填空题为难题，一解答题为难题．选择题一般位于中间四道题和后三道题的位置，填空题一般在后两题的位置，解答题稳定在第21题的位置．选择、填空题主要考查基本初等函数及其应用，重点是函数定义域、值域，函数的单调性和奇偶性的应用，指数函数、对数函数、幂函数的图象和性质的运用，函数零点的判断，简单的函数建模，导数的几何意义的运用等；解答题主要考查导数在函数问题中的综合运用，重点是利用导数的方法研究函数的单调性和极值，解决与函数的单调性、极值、最值相关的不等式和方程等问题，考查函数建模和利用导数解模的能力，突出了对学生的逻辑推理能力、运算求解能力、分类与整合思想、化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想的考查．下面对学生存在的主要问题进行剖析，并提出相应的教学对策．

一、存在的问题及原因分析

1．缺乏运用特殊值法、排除法解题意识

本专题中，“特殊值法”就是适当选取包含于题目之中的某个特殊值（或特殊情形，如特殊点、特殊函数、特殊图形等），通过简单的运算、推理或验证，便能找到问题的正确答案或否定错误的结论，达到缩减思维过程、降低推算难度的目的．用“特殊值法”解决一些可舍弃解题过程的问题，如选择题、填空题，可收到出奇制胜、事半功倍的效果．在一些一般性的问题中，通过特殊值“特殊化”，往往能获得解题的重要信息，发现解决原题的有效途径，在数学解题中具有很重要的作用．

【例1】（2016年新课标Ⅰ卷理7、文9）函数y?2x2?e在[?2,2]的图象大致为（ ）

x

A． B． C． D． 【解析】法一：函数y?2x2?e为偶函数，故函数在[?2,2]上的图象关于y轴对称．当

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x2x?0，f(x)?2x2?ex．由f2排除A；由f'(()8??e0?，x)?4xe?11f(1)?4?e?0，f()?2?e2?0，排除B，C，故选D．

2x，f'(0)??1?0，

''法二：由f'(x)?4x?ex，易知f'(x)在[0,2]上先负后正，故f(x)在[0,2]上先减后

''增．又f()?1?4e?0，f()?2?e?0，故f'(x)存在零点x0?(,)，使得f(x)14121142在(0,x0)单调递减，在(x0,2)单调递增，故选D．

【评析】本题易错的主要原因：没有优先考虑对称性或奇偶性来缩减自变量的范围；不懂得从特殊值入手，利用导数的几何意义，结合图像特征，排除错误的答案；除图形直观的考虑f(2)函数值大小外，后续无从下手；导函数计算错误；求导后无从下手，不懂得导数的几何意义.解决此类问题，常取特殊点处的函数值或利用函数的单调性、对称性等性质排除错误选项．复习教学中，多注重培养特殊值法、排除法的意识，对特殊到一般的思想进行强化训练．

2．对函数中的基本概念、公式的理解掌握不到位

本专题中，从学生方面看，更倾向于题海战，而忽视了基本概念、公式的理解掌握，如指数、对数的运算性质等推导过程的轻视；从教师层面看，指数、对数的运算性质推导过程的教学是在高一起始阶段，但由于在高一阶段的测试和练习中，并未涉及推导过程的考查，更多的是公式的运用，以至于教师对于运算性质的由来一笔带过，侧重于公式的运用的练习． 【例2】（2017年新课标Ⅰ卷理11）设x、y、z为正数，且2x?3y?5z，则（ ）

A．2x?3y?5z B．5z?2x?3y C．3y?5z?2x D．3y?2x?5z 【解析】法一：令2x?3y?5z?2，则x?1，y?log32，z?log52，所以

5z?5log52?log532?2?2x，3y?3log32?log38?2?2x，故选D．

法二：令2x?3y?5z?k（k?1），则x?log2k，y?log3k，z?log5k．所以

2x2lgklg3lg92x2lgklg5lg25????1，则2x?3y；????1，则2x?5z． 3ylg23lgklg85zlg25lgklg32 【评析】本题易错的主要原因有学生对指数、对数、幂的运算仅停留在记忆公式的层次，并不能很好的掌握公式的由来，以至于对公式的运用不能熟练掌握，导致不能正确解决问题；对指数、对数概念理解不到位，不能很好地进行指数与对数的转化.2016年和2017年新课标

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卷都对指数、对数、幂的运算及大小比较进行了考查,这个问题在教学中应值得引起我们 足够重视.

3．未能深入领会数形结合的思想

纵观历年数学高考试题，函数图象问题深受命题者的青睐．主要考查角度有：有“图”识“图”、有“图”作“图”、有“图”不作“图”、无“图”作“图”（注:此处第一个“图”是指试题题干中出现的“图象”字眼，第二个“图”是指为解决问题所作的函数图象），下例即为无“图”作“图”．解决有关函数图象的问题可归结为“以形助数”和“以数解形”两个方面，即有的函数图象问题，需利用（或挖掘）条件所呈现（或隐含）的函数图象，利用图象找出解决问题的突破口；而有的函数图象问题，无需作图，利用函数性质或其它知识即可解决问题．

【例3】（2017年新课标Ⅲ卷理15、文16）设函数f(x)???x?1 x?0x?2 x?0x，则满足

1f(x)?f(x?)?1的x的取值范围是 ．

2【解析】法一：已知不等式变形得

11f(x?)?1?f(x)．函数y?f(x?)的图象可看作将函

221数y?f(x)的图象向右平移个单位，y?1?f(x)的图

2象可看作先将函数y?f(x)的图象沿着x轴翻折，再将图象整体向上平移1个单位．作出函数图象如上图．联立方

1?1?y?x?程?2，解得交点A横坐标为?，故由图易知满

4?y??x?足不等式f(x?)?1?f(x)的解集为(?121,??)． 43?2x? x?0?2?1?x11法二：令g(x)?f(x)?f(x?)??2?x? 0?x?

2?221?x?1(2?2)?2 x??2?函数g(x)在区间(??,0]，(0,]，(,??)内均单调递增，且g(?)?1，

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