在Rt△APD 中， DP ? AD2 ? AP2 ? 4 2 ， ∵ FN⊥AB ，由①可知 AF ? AB ? 4 ， ∴ FN∥DP ，∴△AFN∽△ADP ， AF FN 4 ?FN ，解得 FN ? 8 2 ， ∴ ? ， 即 ?AD DP 6 4 2 3
8 2 ∴ BM ? MN 的最小值为 ．
3
.42
【考点】二次函数与 x 轴交点问题，二次函数与圆综合，两点间距离公式，勾股定理，轴对称性质． 【答案】（1）证明略．
（2）①⊙ P 经过 y 轴上一个定点，该定点坐标为(0,1) ． l 6 5 ? 10 ② ? ．r 5
【解析】（1）当抛物线与 x 轴相交时，令 y ? 0 ，得：
x2 ? mx ? 2m ? 4 ? 0 ， ∴ ? ? m2 ? 4(2m ? 4) ? m2 ? 8m ?16 ? (m ? 4)2 ， ∵ m ? 0 ， ∴ (m ? 4)2 ? 0 ，
∴该抛物线与 x 轴总有两个不同的交点．
（2）①令 y ? x2 ? mx ? 2m ? 4 ? (x ? 2)(x ? m ? 2) ? 0 ，
解得： x1 ? 2 ， x2 ? ?m ? 2 ，
∵抛物线与 x 轴的两个交点分别为 A ， B （点 A 在点 B 的右侧）， ∴ A(2, 0) ， B(?2 ? m,0) ， ∵抛物线与 y 轴交于点C ， ∴ C(0, ?2m ? 4) ， 设⊙ P 的圆心为 P(x0 , y0 ) ，
则 x0 ? 2 ? (?2 ? m) m
? ? ，2 2
? m ? ∴ P ? ? , y ，
2 0 ??? ??且 PA ? PC ，则 PA2 ? PC2 ，
m ? ? ?即 ? m ? 2 ?? y 2 ? ? ? (?2m ? 4 ? y )2 ， ? 2 ? 0 ? 2 ? 0 ? ? ? ??
2
2
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?
?
?
解得 y0 ?
?3 ? 2m
，2
? m ?3 ? 2m ? ∴ P ? ? 2 , 2 ??，
? ??
∴⊙ P 与 y 轴的另一交点的坐标为(0,b) ， 则 b ? (?2m ? 4) ?3 ? 2m
? ，
2 2
∴ b ? 1 ，
∴⊙ P 经过 y 轴上一个定点，该定点坐标为(0,1) ． ②由①知， D(0,1) 在⊙ P 上，
m ? ? m , ?3 ? 2?m ? ， P ∵ E 是点C 关于直线 x ?? 2 的对称点，且⊙ P 的圆心 ?2 2 ?
? ??∴ E(?m, ?2m ? 4) 且点 E 在⊙ P 上，
即 D 、 E 、C 均在⊙ P 上的点，且∠DCE ? 90? ，
∴ DE 为⊙ P 的直径，
∴∠DBE ? 90? ， △DBE 为直角三角形， ∵ D(0,1) ， E(?m, ?2m ? 4) ， B(?2 ? m,0) ，
∴ DB ? (?m ? 2)2 ?12 ? (m ? 2)2 ?1 ，
BE ? (?2)2 ? (?2m ? 4)2 ??4 ? (2m ? 4)2 ? 2 1? (m ? 2)2 ， ∴ BE ? 2DB ，
∴在Rt△DBE 中，设 DB ? x ，则 BE ? 2x ，
∴ DE ? DB2 ? BE2 ? 5x ，
∴△BDE 的周长l ? DB ? BE ? DE ? x ? 2x ??5x ? (3 ??5)x ，
⊙ P 的半径r ?
DE 2
?
5
x ， 2
l (3 ? 5)x 6 5 ∴ ? ? ? 2 ．r 5 5
x 2
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.52
【考点】四边形的内角和，旋转性质，等边三角形性质，勾股定理，动点轨迹问题，弧长公式．
π
【答案】（1） 270? ．（2） AD2 ? CD2 ? BD2 ．（3） ．
3
【解析】（1）在四边形 ABCD 中，∠B ? 60? ，∠D ? 30? ，
∴∠A ?∠C ? 360? ? ?B ? ?C ? 360? ? 60? ? 30? ? 270? ．
（2） 如图，将△BCD 绕点 B 逆时针旋转60? ，得到△BAQ ，连接 DQ ，
∵ BD ? BQ ，∠DBQ ? 60? ， ∴△BDQ 是等边三角形， ∴ BD ? DQ ，
∵∠BAD ?∠C ? 270? ， ∴∠BAD ?∠BAQ ? 270? ， ∴∠DAQ ? 360? ? 270? ? 90?， ∴△DAQ 是直角三角形，
Q
A
D
B ∴ AD2 ? AE2 ? DQ2 ，
即 AD? CD? BD．
（3） 如图，将△BCE 绕点 B 逆时针旋转60? 到△BAF ，连接 EF ，
∵ BE ? BF ，∠EBF ? 60? ， ∴△BEF 是等边三角形， ∴ EF ? BE ，∠BFE ? 60? ，
∵ AE2 ? BE2 ? CE2 ， ∴ AE2 ? EF 2 ? AF 2 ， ∴∠AFE ? 90? ，
∴∠BFA ?∠BFE ?∠AFE ? 60? ? 90? ?150?， ∴∠BEC ? 150? ，
则动点 E 在四边形 ABCD 内部运动，满足∠BEC ? 150? ， 以 BC 为边向外作等边△OBC ，
则点 E 是在以O 为圆心， OB 为半径的圆周上运动，
2 2 2 C 运动轨迹为 BC ， ∵ OB ? AB ? 1， 60?π ?1 π
则 BC ? ? ．
180? 3
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