???0,1?，使得?f(x)dx?0.
0?四. （12分）求广义积分???21dx 41?x五．（12分）过原点?0,0?作曲线y??lnx的切线，求该切线、曲线y??lnx与
x轴所围成的图形绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积.
六.（12分）已知正方体ABCD?A1B1C1D1的边长为2，E为D1C1的中点，F为侧面正方形BCC1B1的中点，（1）试求过点A1,E,F的平面与底面ABCD所成二面角的值。（2）试求过点A1,E,F的平面截正方体所得到的截面的面积. 七（12分）已知数列?an?单调增加，a1?1,a2?2,a3?5,,an?1?3an?an?1
?n?2,3,?1?,记xn?a，判别级数?xn的敛散性.
n?1n2008年江苏省高等数学竞赛题（本科一级）
一．填空题（每题5分，共40分） 1.a2. a ，b ，bln(1ax) 时，limxax2xarctanxbxx2
x在x1bx时f(x)0时关于x的无穷小的阶数最高。
3.
20sin2xcos4xdx
t,y2,z2t的平面方程为
4.通过点1,1,1与直线x5.设z2xx2ny,则2zn(2,1)y=
6.设D为y7.设为x2(yexx,xy20,y2x(y1围成区域，则
Darctanydxdy
0)上从O(0,0)到A(2,0)的一段弧，则
x)dx(exxy)dy=
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8.幂级数
n1nxn的和函数为 ，收敛域为 。
二．（8分）设数列xn为
x13,x233,,xn233xn(n1,2,)
证明：数列xn收敛，并求其极限
三．（8分）设f(x)在a,b上具有连续的导数，求证
maxf(x)1babaaxbf(x)dxbaf/(x)dx
四．（8分）1）证明曲面
:x(bacos)cos,yasin,z(bacos)sin
02,020ab为旋转曲面
2）求旋转曲面所围成立体的体积
五．（10分）函数u(x,y)具有连续的二阶偏导数，算子A定义为
A(u)xuxyu, y1）求A(ux2A(u))；2)利用结论1）以
2y,xxy为新的自变量改变方程
ux22u2xyxyy2uy2t020的形式
tx1六．（8分）求lim6t0t七．（9分）设:x2dxsin(xy)2dy
1(z0)的外侧，连续函数
y2z2f(x,y)2(xy)2x(z2ez)dydzy(z2ez)dzdx(zf(x,y)2ez)dxdy
求f(x,y)
八．（9分）求f(x)x2(x3)的关于x的幂级数展开式
(x1)3(13x)2008年江苏省高等数学竞赛题（专科）
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一．填空题（每题5分，共40分） 1.a ，bn 时，limxax2xarctanxbxx2
2. limnk11kk2 。
3.设fx4. axx1x2
x100，则f100
，baxx2时f(x)??x2x在x1bx0时关于x的无穷小的阶数最高。
5.?1?1?x?22dx?
6.点?2,1,?1?关于平面x?y?2z?5的对称点的坐标为 7.通过点1,1,1与直线x8.幂级数
n1t,y2,z2t的平面方程为
nxn的和函数为 ，收敛域为 。
二．（8分）设数列xn为x1敛，并求其极限
1,xn16xn(n1,2,)，证明：数列xn收
三．（8分）设f(x)在a,b上连续?a?0?，求证存在???a,b?，使得
abaf(x)dx0，
f(x)dx2f()。
四．（8分）将xoy面上的曲线?x?b??y2?a2?0?a?b?绕直线x?3b旋转一周得到旋转曲面，求此旋转曲面所围立体的体积。 五．（8分）（8分）求limt01t5t0sin(tx)2dt
六．（10分）在平面?:x?2y?z?20内作直线?，使直线?过另一直线
?x?2y?2z?1与平面设?的交点，且?与L垂直，求直线?的参数方程。 L:?3x?y?4z?3?七（8分）判别级数
n11n1n31的敛散性（绝对收敛？条件收敛？发散？
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）
八．（10分）求f(x)。
x22的关于x的幂级数展开式，并指出收敛域2(x1)(12x)2006年江苏省高等数学竞赛试题（本科一、二级）
一.填空（每题5分，共40分） 1.f?x??ax，limx31ln??f?1?f?2?n??n4f?n????
1??tx?22. lim?5e?1dt? x?00x1arctanxdx? 3. ?022?1?x?4.已知点A??4,0,0?,B(0,?2,0),C(0,0,2),O为坐标原点，则四面体OABC的内接球面方程为
5. 设由x?zey?z确定z?z(x,y)，则dz?e,0????
6.函数f?x,y??e?x?ax?b?y2?中常数a,b满足条件 时，f??1,0?为其极大值.
7.设?是y?asinx(a?0)上从点?0,0?到??,0?的一段曲线，a? 时，曲线积分??x2?y?dx?2xy?eydy取最大值.
2???8.级数???1?n?1?n?1n?1?n条件收敛时，常数p的取值范围是 pn二.（10分）某人由甲地开汽车出发，沿直线行驶，经2小时到达乙地停止，一路畅通，若开车的最大速度为100公里/小时，求证：该汽车在行驶途中加速度的变化率的最小值不大于?200公里/小时3
????三.（10分）曲线?的极坐标方程为??1?cos??0????，求该曲线在??2?4?所对应的点的切线L的直角坐标方程，并求切线L与x轴围成图形的面积. 四（8分）设f(x)在???,???上是导数连续的有界函数，f?x??f??x??1，
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求证：f?x??1.x????,???
五（12分）本科一级考生做：设锥面z2?3x2?3y2(z?0)被平面x?3z?4?0截下的有限部分为?.（1）求曲面?的面积；（2）用薄铁片制作?的模型，
A(2,0,23),B(?1,0,3)为?上的两点，O为原点，将?沿线段OB剪开并展成
平面图形D，以OA方向为极坐标轴建立平面极坐标系，写出D的边界的极坐标方程.
本科二级考生做：设圆柱面x2?y2?1(z?0)被柱面z?x2?2x?2截下的有限部分为?.为计算曲面?的面积，用薄铁片制作?的模型，
A(1,0,5),B(?1,0,1),C??1,0,0?为?上的三点，将?沿线段BC剪开并展成平面图形D，建立平面在极坐标系，使D位于x轴正上方，点A坐标为?0,5?，写出D的边界的方程，并求D的面积.
?x2?2z六（10分）曲线?绕z轴旋转一周生成的曲面与z?1,z?2所围成的立体
?y?0区域记为?， 本科一级考生做????1dxdydz 222x?y?z本科二级考生做????x2?y2?z2?dxdydz
?七（10分）本科一级考生做1）设幂级数?an2xn的收敛域为??1,1?，求证幂级
n?1?数?annx的收敛域也为??1,1?；2）试问命题1）的逆命题是否正确，若正确给nn?1?出证明；若不正确举一反例说明. 本科二级考生做：求幂级数?n2nx?1的收敛域与和函数 ??n2n?1?2006年江苏省高等数学竞赛试题（本科三级、民办本科）
一.填空（每题5分，共40分）
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江苏省高等数学竞赛试题
